3.圆内接四边形的性质与判定

3．圆内接四边形的性质与判定一、基础知识回顾1．在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的相等，所对的也相等。2.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条、两条、两个中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。3.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对。(1)半圆(或直径)所对的圆周角是;90º的圆周角所对的弦是.(2)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角;相等的圆周角所对的弧也.二、知识延伸拓展如果四边形的各顶点在一个圆上，这个四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。例如，图1中，四边形ABCD是⊙O的内接四边形；⊙O是四边形ABCD的外接圆。圆内接四边形有以下性质：性质定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角。已知：如图2，四边形ABCD内接于⊙O，∠DCE是四边形ABCD的外角。求证：（1）∠A+∠BCD=180º，∠B+∠D=180º；（2）∠DCE=∠A。证明：（1）∵，，∴∵和的度数和是360º∴同理，∠B+∠D=180º。(2)∵∠DCE是四边形ABCD的外角，∴∠DCE+∠BCD=180º由（1）得∠A+∠BCD=180º∴∠DCE=∠A。九年级上册第三章用OABCD图1OABCDE图2BAD⌒BCD⌒⌒∠A所对的弧是BCD∠BCD所对的弧是BAD⌒⌒⌒mm.21,21ABADBCDBCD.18036021)(212121BADBCDBADBCDBCDAm⌒⌒⌒⌒反过来，如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点在同一个圆上吗？已知：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°求证：A,B,C,D在同一圆周上。分析：根据不在同一直线上的三点确定一个圆，不妨设A、B、C三点确定⊙O，则点D与⊙O的位置关系有三种：在圆外、在圆上、在圆内，如果能排除点D在圆外和在圆内，则点D必在圆上。证明：(1)如果点D在⊙O外部（如图3）。则∠AEC+∠B=180°因∠B+∠D=180°得∠D=∠AEC与“三角形外角大于任意不相邻的内角”矛盾。故点D不可能在圆外。(2)如果点D在⊙O内部（如图4）。则∠B+∠E=180°∵∠B+∠ADC=180°∴∠E=∠ADC同样矛盾。∴点D不可能在⊙O内。综上所述，点D只能在圆周上，四点共圆。判定定理如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点在同一个圆上（简称四点共圆）.推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.三、精典例题点拨例1已知：如图5，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D。求证：DB=DC。证明：∵AD是∠EAC的平分线，∴∠DAC=∠DAE。∵四边形ABCD内接于圆，∴∠DCB=∠DAE∵圆周角∠DBC和∠DAC所对的弧都是CD，∴∠DBC=∠DAC∴∠DBC=∠DCB∴DB=DC。例2如图6，⊙O1与⊙O2都经过A,B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C,与⊙O2交于点D，经过点B的直线EF与⊙O1交于点E,与⊙O2交与点F.求证：CE//DF.证明：连接AB图3EOCDAB图4EODABC图5ABCDE图6DFBACEO2O1∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形。∴∠BAD=∠E.∵四边形ADFB是⊙O2的内接四边形。∴∠BAD+∠F=180°∴∠E+∠F=180°∴CE//DF.例3如图7，CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC,FQ⊥AC.求证：A,B,P,Q四点共圆.证明：连接PQ。在四边形QFPC中，∵FP⊥BCFQ⊥AC，∴∠FQA=∠FPC=90º.∴Q,F,P,C四点共圆。∴∠QFC=∠QPC.又∵CF⊥AB∴∠QFC与∠QFA互余.而∠A与∠QFA也互余.∴∠A=∠QFC.∴∠A=∠QPC.∴A,B,P,Q四点共圆。想一想1.圆内接平行四边形一定是形；2.圆内接梯形一定是形；3.圆内接菱形一定是形。四、随堂练习设计1.在圆内接四边形ABCD中，已知∠A=50º，∠D-∠B=40º，则∠B=º，∠C=º，∠D=º。2.如图8，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100º，则∠BAD=º，∠BCD=º。3.如图9，以等腰△ABC的底边BC为直径的⊙O分别交两腰AB，AC与点E，D，连结DE。求证：DE//BC。图7QPFCAB图8OABDC图9DEOABC4.任意画一个矩形，再画出它的外接圆。五、课后作业巩固1.若圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比是2∶3∶6，则该四边形内角中最大度数是（）A.1200B.1350C.900D.4502.如图10，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（）A．2对B．4对C．6对D．8对3.如图11，已知PA、PB是圆O的切线，A、B分别是切点，C为圆O上不与A、B重合的另一点，若∠ACB=120°，则∠APB=_________.4．圆内接四边形ABCD中，::1:2:3ABC，则D.5．如图12，四边形ABCD内接于圆，∠DCE=50°，则∠BOD=____．6．如图13，AB为半圆O的直径，C、D为半圆上的两点，20BAC，则ADC.ＡＤＣＯＢ图10OPABC图11OABDCE图12DCAOB图137．如图14，在△ABC中，∠AEF=45°，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠EFC=20°，则∠ABE=____．8.如图15,⊙O的内接四边形BCED,延长ED,CB交于点A,若BD⊥AE,AB=4,BC=2,AD=3，则DE=_______;CE=__________.9.如图16，已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC⌒上的点(不与A,C重合)，延长BD到E.(1)求证:AD的延长线平分∠CDE;(2)若∠BAC=30°，△ABC中，BC边上的高为2+3，求△ABC外接圆的面积.10.已知：如图17，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠DAB=60°，BD=6cm．求：对角线AC的长．ABCEF图14图15OCABDE图16ABCD图17六、本课时参考答案随堂练习1.70°,130°,110°;2.50°,130°;3.∵四边形BCDE内接于⊙O∴∠AED=∠C又∵∠B=∠C∴∠AED=∠B∴DE//BC。4.略。课后作业1.B2.B3.60°4.90°5.100°6.110°7.25°8.5，729.（1）∠EDF=∠ADB=∠ACB=∠ABC=∠CDF（等腰三角形兩底角相等）（2）∠BOC=2∠BAC=600R=BCR+23R=2+3R=2S=2R=4