第23讲--游戏必胜策略

小升初面试第二阶段数学课程--游戏必胜的策略第一部分思维提升（45分钟）我国古代有一个“田忌赛马”的故事；齐王经常要求将军田忌和他赛马。规定各从自己的马中选上等马、中等马、下等马各一匹，进行三场比赛，每场各出一匹马。每胜一场可得一千金。田忌的这三个等级的马都不如齐王的好。但田忌的上等马要优于齐王的中等马，田忌的中等马要优于齐王的下等马。田忌的朋友孙膑给他出了一个主意，叫田忌用下等马对齐王的上等马，上等马对齐王的中等马，中等马对齐王的下等马。结果，田忌先负一场然后连胜两场，反而赢了一千金。这个故事是对策的一个典型例子。他告诉我们：在竞争时，要认真分析研究、寻求并制定尽可能好的方案。利用它取得尽可能大的胜利，或在胜利无望的时候，也不至于输得太惨。这种思想在20世纪形成了对策论这门新兴学科。下面我们就根据这个理论来想一想对策：例1、两个人轮流数数，每个人每次可以数1个、2个、3个，但不能不数。例如第一个数1、2，第二个接着往下数3，也可以数3、4，还可以数3、4、5,。如此继续下去，谁先数到100，谁就算胜。请试一试，怎样才能获胜？分析：要抢到100，必须抢到96.这时另一个人只能数97或97、98或数97、98、99，无法数到100。如何才能抢到96呢？有必须抢到92.以此类推，得到一列数92、88、84、…、4.只要抢到这些数中的任何一个，然后当对方报a个数时（1≤a≤3）时，就报（4-a）个数，这样就能抢到这个数列中的上一个数，直到抢到100.但无论第一个人报什么数，第二个人都可以抢到4n（n=1、2…）因此第二个人就有必胜的策略。只有在第二个人产生错误时，第一个人才能获胜。思考：如果将100改为101或99，其他条件都不变，先数的人能否获胜呢？（是否还是抢4呢？）例2、有两堆火柴，一堆16跟，一堆11跟。甲乙两人轮流从中拿走1根或几根甚至一堆，但每次只能在某一堆中拿火柴，谁拿走最后一根谁取胜，问甲如何才能取胜？分析：这是另一类对策游戏。我们先考虑特殊情况。当两堆中的火柴根数相同时，后取者只要根据先取者的取法，在另一堆中取相同的根数，就能保证取到最后一根。对一般情况可以化为特殊情况。解：甲从16根的那堆中先取出16-11=5根，是两堆火柴根数相同。然后每次根据对手取得根数在另一堆中取相同的根数，是两堆火柴根数保持相等，直至取到最后一根火柴而获胜。说明：当乙先取时，如果他不知道获胜的策略，那么甲可以利用已的错误取胜。例3、一张3×10的长方形网格纸有30个小方格。甲乙两人轮流用剪刀沿方格纸直线剪一刀。（只能沿直线剪，否则为输）甲将一份分为两份，选送一份给乙；乙按要求剪一刀后，选一份再送给甲……如此重复进行，谁送给对方一个方格，谁就获胜。甲要想获胜，有何策略？分析：送给对方一个正方形的方格纸，这时后剪的都可以使图形再变成（更小的）正方形，知道取胜为止。解：甲先剪下7×3的一块，把3×3的那块送给乙。乙只能剪成1×3和2×3的两块。若送给甲1×3的那块，正好使甲剪下1×2而获胜。若送给甲2×3的那块，那么甲再一刀剪成1×2和2×2的两块，把2×2的送给乙。乙只可能切成1×2的两块。其中一块送给甲，甲还是获胜。同学们，这种方法你考虑到了吗？你会不会再遇到问题时，先动脑筋想办法。例4、甲乙两人轮流在黑板上写不超过10的自然数。游戏规则：不允许写黑板上已写过的数的约数。轮到谁无法写数时，就是输者。现甲先写，乙后写，问谁能获胜？需要什么对策？分析：仍然利用对称原理。抢先给对方制造一个对称。只要甲先写6.解：甲先写6。乙还有4、5、7、8、9、10六个数可以选择。把他们分成三组（4,5）、（8,10）、（7,9）。乙写某组数中的一个时，甲就写同组数中的另一个，从而一定获胜。例5、在4×4的方格纸上有一粒石子，它放在左下角的方格里。甲、乙二人玩游戏。由甲开始，二人交替地移动这粒石子。每次只能向上、向右或向右上方移动一格。谁把石子移到右上角谁胜。问甲要取胜的策略是什么？解：要占领右上角必须先占领图中打点的格子，甲先走入打点的格子，乙无论如何走，甲都可以再走入打点的格子，甲一定胜。巩固练习：1、甲乙两人轮流报数，每次报的数必须是1至8之内的自然数。把两人报的数逐次相加，谁正好使和达到88，谁就获胜，甲欲取胜，有何策略？2、桌面上有1999根火柴，甲甲乙两人轮流的取1根或2根，谁取到最后一根火柴谁获胜。问获胜的策略是什么？3、有两个箱子分别装有63、108个球。甲乙两个轮流在任意箱中取球，规定取得最后一个球的为胜。甲先取，他应如何取才能取胜？4、现有三堆火柴，分别为3、5、8根。两人轮流取，每次可以取走其中的一堆，也可以取走一堆中的若干根（一次不能从两堆中取，最少要取一根）。谁取到最后一根或一堆，谁获胜。先取的人要保证获胜的策略是什么？5、把16枚棋子排成一行。甲乙二人轮流取走棋子，每人每次可以取走紧挨着的两枚（如果两枚棋子当中已经有其他棋子被取走，就不算紧挨，就不能同一次取走）如果在甲取走棋子后，乙再也找不到紧挨着的两枚棋子可以取，甲获胜。甲有获胜办法吗？第二部分学科知识（15分钟）统计与可能性1.什么叫中位数、众数、平均数？常见的统计图有哪些？说说其各自的优点。2.有一组数据：4、4、2、4、6、4、2、10、4、6、4、4。这组数据的平均数是（），中位数是（），众数是（）。3.一组数据：42,44,44,46,48,48,48,48,50,51,51，56。这组数据的平均数是（），中位数是（），众数是（）。4.把数字4、5、6分别写在三张卡片上，任取两张卡片摆放成两位数，是奇数淘气赢，是偶数笑笑赢。笑笑赢得的可能性是（）。5.在一个装有2个黄球和2个红球（它们除颜色外完全相同）的袋子中摸2个，摸到2个都是红球的可能性是（）。6.对于数据3,3,2,3，，6，3，10,3,6,3,2。以下的结论正确的是（）。A.这组数据的众数是3B.这组数据的众数与中位数不同C.这组数据的中位数与平均数相同D.这组数据的众数与平均数相同7.抛3次硬币，有2次正面向上，1次反面向上。请问：第4次抛硬币正面向上的可能性是（）。A.21B.41C.31D.438.六（2）班一组7名同学掷沙包比赛的成绩统计如表所示，回答问题。姓名ABCDEFG成绩（m)18.821.8252321.819.519（1）这组数据的平均数是（），中位数是（），众数是（）。（2）你认为用（）来表示这组数据的一般水平更合适。（3）如果再增加一名同学H的成绩20.4m，这组同学的中位数是（）。9.广州某学校图书馆为增大学生的阅读量，人均占有的图书册数逐年增加，该校2006年至2009年每年的学生总人数和人均占有图书册数的统计结果分别如下图：（1）该校2006年有学生（）人，每人拥有图书（）册。（2）该学校图书馆2009年共有图书（）册。（3）该学校图书馆2008年图书总册数比2007年增加（）册。10.下图是根据某校四、五、六年级学生，在“献爱心”捐款活动中，学生自愿捐款情况制成的条形统计图和各年级学生人数扇形统计图。人均捐款数/元六年级7.6四年级32%6.233%五年级5.435%0四年级五年级六年级年级（1）若该校四、五、六年级共有1600名学生，四、五年级分别有多少名学生？（2）六年级学生共捐款多少元？