专题：对勾函数

快乐学习，学习快乐xyz1基本不等式与对勾函数一、对勾函数byaxx)0,0(ba的图像与性质性质：1.定义域：),0()0,(2.值域：),2()2,(abab3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(xfxf4.图像在一、三象限当0x时，由基本不等式知byaxxab2（当且仅当bxa取等号），即)(xf在x=ab时，取最小值ab2由奇函数性质知：当x0时，)(xf在x=ab时，取最大值ab25.单调性：增区间为（,ab），（ab,）减区间是（0，ab），（ab,0）快乐学习，学习快乐xyz2一、对勾函数的变形形式类型一：函数byaxx)0,0(ba的图像与性质此函数与对勾函数xbxay)()(关于原点对称，故函数图像为性质：类型二：斜勾函数byaxx)0(ab①0,0ba作图如下性质：②0,0ba作图如下：快乐学习，学习快乐xyz3类型三：函数)0()(2acxcbxaxxf此类函数可变形为bxcaxxf)(，则)(xf可由对勾函数xcaxy上下平移得到例1作函数xxxxf1)(2的草图解：11)(1)(2xxxfxxxxf作图如下：类型四：函数)0,0()(kakxaxxf此类函数可变形为kkxakxxf)()(，则)(xf可由对勾函数xaxy左右平移，上下平移得到例2作函数21)(xxxf的草图解：2212)(21)(xxxfxxxf作图如下：例3作函数xxxxf23)(的作图：解：1212211212)(23)(xxxxxxxxfxxxxf练习：1.求函数421)(xxxf在),2(上的最低点坐标快乐学习，学习快乐xyz42.求函数1)(xxxxf的单调区间及对称中心类型五：函数)0,0()(2babxaxxf此类函数定义域为R，且可变形为xbxaxbxaxf2)(a.若0a，则)(xf的单调性和对勾函数xbxy的单调性相反，图像如下：性质：1．定义域：),(2.值域：)21,21(baba3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个倒着的“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(xfxf4.图像在一、三象限当0x时，由基本不等式知baxbxaxf22)(（当且仅当bx取等号），即)(xf在bx时，取最大值ba2由奇函数性质知：当x0时，)(xf在x=b时，取最小值ba25.单调性：减区间为（,b），（b,）快乐学习，学习快乐xyz5增区间是],[bb例4作函数1)(2xxxf的草图解：xxxxxfxxxf1111)(1)(22b.若0a，作出函数图像：例5作函数42)(2xxxf的草图类型六：函数)0()(2amxcbxaxxf此类函数可变形为)0()()()()(2atsmxtmxamxtmxsmxaxf，则)(xf可由对勾函数xtaxy左右平移，上下平移得到例6说明函数11)(2xxxxf由对勾函数xxy1如何变换而来解：111111)1()1()(2xxxxxxf故此函数)(xf可由对勾函数xxy1向（填“左”、“右”）平移单位，向（填“上”、“下”）平移单位.草图如下：快乐学习，学习快乐xyz6练习：1.已知1x，求函数1107)(2xxxxf的最小值2.已知1x，求函数1109)(2xxxxf的最大值类型七：函数)0()(2acbxaxmxxf例7求函数21)(2xxxxf在区间),1(上的最大值解：当1x时，0)1(f当1x时，3141114)1(3)1(14)1(3)1(1)(22xxxxxxxxxf问：若区间改为),4[则)(xf的最大值为练习：1.求函数232)(22xxxxxf在区间),0[上的最大值类型八：函数axbxxf)(此类函数可变形为标准形式：)0()(abaxabaxaxabaxxf例8求函数13)(xxxf的最小值解：141141)(xxxxxf快乐学习，学习快乐xyz7练习：1．求函数15)(xxxf的值域2.求函数32)(xxxf的值域类型九：函数)0()(22aaxbxxf此类函数可变形为标准形式：)()()(22222oabaxabaxaxabaxxf例9求函数45)(22xxxf的最小值解：45)(22xxxf414414)(2222xxxxxf练习：1.求函数171)(22xxxf的值域例10已知2210,xaaxa求函数y=的最小值。解：222211xaxaxaxay=令t=2xa(ta),则1tty=当1a即1a时，1aaminy=当1a即01a时，2miny=