离散数学第14章课件PPT-高等教育出版社-屈婉玲-耿素云-张立昂主编

1第五部分图论本部分主要内容图的基本概念欧拉图、哈密顿图树2第十四章图的基本概念主要内容图通路与回路图的连通性图的矩阵表示图的运算预备知识多重集合——元素可以重复出现的集合无序积——AB={{x,y}|xAyB}314.1图定义14.1无向图G=V,E,其中(1)V为顶点集，元素称为顶点(2)E为VV的多重集，其元素称为无向边，简称边实例设V={v1,v2,…,v5},E={(v1,v1),(v1,v2),(v2,v3),(v2,v3),(v2,v5),(v1,v5),(v4,v5)}则G=V,E为一无向图4有向图定义14.2有向图D=V,E,只需注意E是VV的多重子集图2表示的是一个有向图，试写出它的V和E注意：图的数学定义与图形表示。5相关概念1.图①可用G泛指图（无向的或有向的）②V(G),E(G),V(D),E(D)③n阶图2.有限图3.n阶零图与平凡图4.空图——5.用ek表示无向边或有向边6.顶点与边的关联关系①关联、关联次数②环③孤立点7.顶点之间的相邻关系6}{)()(})(),()(|{)(vvNvNvvuGEvuGVuuvNv的闭邻域的邻域})(|{)(关联与veGEeevI}{)()()()()(})(,)(|{)(})(,)(|{)(vvNvNvvvvNvvuDEvuDVuuvvvuDEuvDVuuvvDDDDDDD的闭邻域的邻域的先驱元集的后继元集8.邻域与关联集①vV(G)(G为无向图)v的关联集②vV(D)(D为有向图)9.标定图与非标定图10.基图相关概念7多重图与简单图定义14.3(1)无向图中的平行边及重数(2)有向图中的平行边及重数（注意方向性）(3)多重图(4)简单图在定义14.3中定义的简单图是极其重要的概念8顶点的度数定义14.4(1)设G=V,E为无向图,vV,d(v)——v的度数,简称度(2)设D=V,E为有向图,vV,d+(v)——v的入度d(v)——v的出度d(v)——v的度或度数(3)(G),(G)(4)+(D),+(D),(D),(D),(D),(D)(5)奇顶点度与偶度顶点9mvdnii2)(1mvdvdmvdniiniinii111)()(,2)(且定理14.1设G=V,E为任意无向图，V={v1,v2,…,vn},|E|=m,则证G中每条边(包括环)均有两个端点，所以在计算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，m条边共提供2m度.本定理的证明类似于定理14.1握手定理定理14.2设D=V,E为任意有向图，V={v1,v2,…,vn},|E|=m,则10握手定理推论推论任何图(无向或有向)中，奇度顶点的个数是偶数.证设G=V,E为任意图，令V1={v|vVd(v)为奇数}V2={v|vVd(v)为偶数}则V1V2=V,V1V2=，由握手定理可知由于2m,均为偶数，所以为偶数，但因为V1中顶点度数为奇数，所以|V1|必为偶数.21)()()(2VvVvVvvdvdvdm2)(Vvvd1)(Vvvd11例1无向图G有16条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其余顶点度数均小于3，问G的阶数n为几？解本题的关键是应用握手定理.设除3度与4度顶点外，还有x个顶点v1,v2,…,vx，则d(vi)2，i=1,2,…,x，于是得不等式3224+2x得x4,阶数n4+4+3=11.握手定理应用12图的度数列1.V={v1,v2,…,vn}为无向图G的顶点集，称d(v1),d(v2),…,d(vn)为G的度数列2.V={v1,v2,…,vn}为有向图D的顶点集，D的度数列：d(v1),d(v2),…,d(vn)D的入度列：d+(v1),d+(v2),…,d+(vn)D的出度列：d(v1),d(v2),…,d(vn)3.非负整数列d=(d1,d2,…,dn)在什么条件下是可图化的，是可简单图化的？定理14.4p277易知：(2,4,6,8,10)，(1,3,3,3,4)是可图化的，后者又是可简单图化的，而(2,2,3,4,5)，(3,3,3,4)都不是可简单图化的，特别是后者也不是可图化的13n阶完全图与竞赛图定义14.6(1)n(n1)阶无向完全图——每个顶点与其余顶点均相邻的无向简单图，记作Kn.简单性质：边数(2)n(n1)阶有向完全图——每对顶点之间均有两条方向相反的有向边的有向简单图.简单性质：(3)n(n1)阶竞赛图——基图为Kn的有向简单图.简单性质：边数1,2)1(nnnm1),1(2),1(nnnnm1,2)1(nnnm14n阶k正则图(1)为K5，(2)为3阶有向完全图，(3)为4阶竞赛图.(1)(2)(3)定义14.7n阶k正则图——==k的无向简单图简单性质：边数（由握手定理得）n阶完全图Kn是n1正则图，2nkm15子图定义14.8G=V,E,G=V,E(1)GG——G为G的子图，G为G的母图(2)若GG且V=V，则称G为G的生成子图(3)若VV或EE，称G为G的真子图(4)V（VV且V）的导出子图，记作G[V](5)E（EE且E）的导出子图，记作G[E]16例2画出K4的所有非同构的生成子图实例17补图定义14.9设G=V,E为n阶无向简单图，以V为顶点集，以所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作.若G,则称G是自补图.例：见书P280图14.6GG1814.2通路与回路定义14.11给定图G=V,E（无向或有向的），G中顶点与边的交替序列=v0e1v1e2…elvl，vi1,vi是ei的端点.(1)通路与回路：为通路；若v0=vl，为回路，l为回路长度.(2)简单通路与回路：所有边各异，为简单通路，又若v0=vl，为简单回路(3)初级通路(路径)与初级回路(圈)：中所有顶点各异，则称为初级通路(路径)，又若除v0=vl，所有的顶点各不相同且所有的边各异，则称为初级回路(圈)(4)复杂通路与回路：有边重复出现19几点说明表示法①定义表示法②只用边表示法③只用顶点表示法（在简单图中）④混合表示法环（长为1的圈）的长度为1，两条平行边构成的圈长度为2，无向简单图中，圈长3，有向简单图中圈的长度2.不同的圈（以长度3的为例）20通路与回路的长度定理14.5在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通路，则从vi到vj存在长度小于或等于n1的通路.推论在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通路，则从vi到vj存在长度小于或等于n1的初级通路（路径）.定理14.6在一个n阶图G中，若存在vi到自身的回路，则一定存在vi到自身长度小于或等于n的回路.推论在一个n阶图G中，若存在vi到自身的简单回路，则一定存在长度小于或等于n的初级回路.2114.3图的连通性无向图的连通性(1)顶点之间的连通关系：G=V,E为无向图①若vi与vj之间有通路，则vivj②是V上的等价关系R={u,v|u,vV且uv}(2)G的连通性与连通分支①若u,vV，uv，则称G连通②{V1,V2,…,Vk}，称G[V1],G[V2],…,G[Vk]为连通分支，其个数p(G)=k(k1)；k=1，G连通22短程线与距离(3)短程线与距离①u与v之间的短程线：uv，u与v之间长度最短的通路②u与v之间的距离：d(u,v)——短程线的长度③d(u,v)的性质：d(u,v)0,u≁v时d(u,v)=d(u,v)=d(v,u)d(u,v)+d(v,w)d(u,w)23无向图的连通度1.删除顶点及删除边Gv——从G中将v及关联的边去掉GV——从G中删除V中所有的顶点Ge——将e从G中去掉GE——删除E中所有边2.点割集与边割集点割集与割点书p283定义14.15G=V,E,VVV为点割集——p(GV)p(G)且有极小性v为割点——{v}为点割集定义14.16G=V,E,EEE是边割集——p(GE)p(G)且有极小性e是割边（桥）——{e}为边割集24点割集与割点例3{v1,v4}，{v6}是点割集，v6是割点.{v2,v5}是点割集吗？{e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}，{e8}等是边割集，e8是桥，{e7,e9,e5,e6}是边割集吗？几点说明：Kn中无点割集，Nn中既无点割集，也无边割集，其中Nn为n阶零图.若G连通，E为边割集，则p(GE)=2，V为点割集，则p(GV)225点连通度与边连通度定义14.18G为连通非完全图点连通度—(G)=min{|V|V为点割集}规定(Kn)=n1若G非连通，(G)=0若(G)k，则称G为k-连通图定义14.19设G为连通图边连通度——(G)=min{|E|E为边割集}若G非连通，则(G)=0若(G)r，则称G是r边-连通图图中，==1，它是1-连通图和1边-连通图26有向图的连通性定义14.20D=V,E为有向图vivj（vi可达vj）——vi到vj有通路vivj（vi与vj相互可达）性质具有自反性(vivi)、传递性具有自反性、对称性、传递性vi到vj的短程线与距离类似于无向图中，只需注意距离表示法的不同(无向图中d(vi,vj)，有向图中dvi,vj)及dvi,vj无对称性27有向图的连通性及分类定义14.22D=V,E为有向图D弱连通(连通)——基图为无向连通图D单向连通——vi,vjV，vivj或vjviD强连通——vi,vjV，vivj易知，强连通单向连通弱连通判别法定理14.8D强连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的回路定理14.9D单向连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的通路28二部图定义14.23设G=V,E为一个无向图，若能将V分成V1和V2(V1V2=V，V1V2=)，使得G中的每条边的两个端点都是一个属于V1，另一个属于V2，则称G为二部图(或称二分图、偶图等)，称V1和V2为互补顶点子集，常将二部图G记为V1,V2,E.又若G是简单二部图，V1中每个顶点均与V2中所有的顶点相邻，则称G为完全二部图，记为Kr,s，其中r=|V1|，s=|V2|.注意，n阶零图为二部图.2914.4图的矩阵表示无向图的关联矩阵（对图无限制）P288定义14.24无向图G=V,E，|V|=n，|E|=m，令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)nm为G的关联矩阵，记为M(G).性质平行边的列相同)4(2)3(),...,2,1()()2(),...,2,1(2)1(,11mmnivdmmjmjiijimjijniij30jiijmjmjiijiijniijmnivdmvdmmjm,1110)3(,...,2,1),()1(),()1()2(),...,2,1(0)1(的终点为，不关联与，的始点为jijijiijevevevm10,1有向图的关联矩阵（无环有向图）P288定义14.25有向图D=V,E，令则称(mij)nm为D的关联矩阵，记为M(D).(4)平行边对应的列相同性质有向图的关联矩阵31有向图的邻接矩阵（无限制）定义14.26设有向图D=V,E,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em},令为顶点vi邻接到顶点vj边的条数，称为D的邻接矩阵，记作A(D)，或简记为A.性质的回路数中长度为的通路数中长度为1)4(1)3(,...,2,1),()2