屈婉玲离散数学PPT08

1第八章函数主要内容函数的定义与性质函数定义函数性质函数运算函数的逆函数的合成双射函数与集合的基数28.1函数的定义与性质主要内容函数定义与相关概念函数定义函数相等从A到B的函数f:ABBA函数的像与完全原像函数的性质单射、满射、双射函数的定义与实例构造双射函数某些重要的函数3函数定义定义8.1设F为二元关系,若x∈domF都存在唯一的y∈ranF使xFy成立,则称F为函数对于函数F,如果有xFy,则记作y=F(x),并称y为F在x的值.例F1={x1,y1,x2,y2,x3,y2}F2={x1,y1,x1,y2}F1是函数,F2不是函数定义8.2设F,G为函数,则F=GFG∧GF如果两个函数F和G相等,一定满足下面两个条件：(1)domF=domG(2)x∈domF=domG都有F(x)=G(x)函数F(x)=(x21)/(x+1),G(x)=x1不相等,因为domFdomG.4从A到B的函数定义8.3设A,B为集合,如果f为函数,domf=A,ranfB,则称f为从A到B的函数,记作f：A→B.例f：N→N,f(x)=2x是从N到N的函数,g：N→N,g(x)=2也是从N到N的函数.定义8.4所有从A到B的函数的集合记作BA,符号化表示为BA={f|f：A→B}|A|=m,|B|=n,且m,n0,|BA|=nmA=,则BA=B={}A≠且B=,则BA=A=5实例例1设A={1,2,3},B={a,b},求BA.BA={f0,f1,…,f7},其中f0={1,a,2,a,3,a}f1={1,a,2,a,3,b}f2={1,a,2,b,3,a}f3={1,a,2,b,3,b}f4={1,b,2,a,3,a}f5={1,b,2,a,3,b}f6={1,b,2,b,3,a}f7={1,b,2,b,3,b}6函数的像和完全原像定义8.5设函数f：A→B,A1A,B1B(1)A1在f下的像f(A1)={f(x)|x∈A1},函数的像f(A)(2)B1在f下的完全原像f1(B1)={x|x∈A∧f(x)∈B1}注意：函数值与像的区别：函数值f(x)∈B,像f(A1)B一般说来f1(f(A1))≠A1,但是A1f1(f(A1))例设f：N→N,且令A={0,1},B={2},f(A)=f({0,1})={f(0),f(1)}={0,2}f1(B)=f1({2})={1,4}为奇数若为偶数若xxxxxf12/)(7函数的性质定义8.6设f：A→B,(1)若ranf=B,则称f:A→B是满射的(2)若y∈ranf都存在唯一的x∈A使得f(x)=y,则称f:A→B是单射的(3)若f:A→B既是满射又是单射的,则称f:A→B是双射的例2判断下面函数是否为单射,满射,双射的,为什么?(1)f:R→R,f(x)=x2+2x1(2)f:Z+→R,f(x)=lnx,Z+为正整数集(3)f:R→Z,f(x)=x(4)f:R→R,f(x)=2x+1(5)f:R+→R+,f(x)=(x2+1)/x,其中R+为正实数集.8例题解答解(1)f:R→R,f(x)=x2+2x1在x=1取得极大值0.既不是单射也不是满射的(2)f:Z+→R,f(x)=lnx是单调上升的,是单射的.但不满射,ranf={ln1,ln2,…}.(3)f:R→Z,f(x)=x是满射的,但不是单射的,例如f(1.5)=f(1.2)=1(4)f:R→R,f(x)=2x+1是满射、单射、双射的,因为它是单调函数并且ranf=R(5)f:R+→R+,f(x)=(x2+1)/x有极小值f(1)=2.该函数既不是单射的也不是满射的9实例例3对于给定的集合A和B构造双射函数f:A→B(1)A=P({1,2,3}),B={0,1}{1,2,3}(2)A=[0,1],B=[1/4,1/2](3)A=Z,B=N(4),B=[1,1]]2π3,2π[A10解答(1)A={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.B={f0,f1,…,f7},其中f0={1,0,2,0,3,0},f1={1,0,2,0,3,1},f2={1,0,2,1,3,0},f3={1,0,2,1,3,1},f4={1,1,2,0,3,0},f5={1,1,2,0,3,1},f6={1,1,2,1,3,0},f7={1,1,2,1,3,1}.令f:A→B,f()=f0,f({1})=f1,f({2})=f2,f({3})=f3,f({1,2})=f4,f({1,3})=f5,f({2,3})=f6,f({1,2,3})=f711(2)令f:[0,1]→[1/4,1/2],f(x)=(x+1)/401202)(,NZxxxxff：(4)令f:[π/2,3π/2]→[1,1]f(x)=sinx解答(3)将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应：Z：0112233…↓↓↓↓↓↓↓N：0123456…这种对应所表示的函数是：12某些重要函数定义8.7(1)设f:A→B,如果存在c∈B使得对所有的x∈A都有f(x)=c,则称f:A→B是常函数.(2)称A上的恒等关系IA为A上的恒等函数,对所有的x∈A都有IA(x)=x.(3)设A,≼,B,≼为偏序集，f:A→B，如果对任意的x1,x2∈A,x1≺x2,就有f(x1)≼f(x2),则称f为单调递增的；如果对任意的x1,x2∈A,x1≺x2,就有f(x1)≺f(x2),则称f为严格单调递增的.类似的也可以定义单调递减和严格单调递减的函数13(4)设A为集合,对于任意的A'A,A'的特征函数A':A→{0,1}定义为A'(a)=1,a∈A'A'(a)=0,a∈AA'(5)设R是A上的等价关系,令g:A→A/Rg(a)=[a],a∈A称g是从A到商集A/R的自然映射某些重要函数14实例例4(1)偏序集P({a,b}),R,{0,1},≤,R为包含关系,≤为一般的小于等于关系,令f:P({a,b})→{0,1},f()=f({a})=f({b})=0,f({a,b})=1,f是单调递增的,但不是严格单调递增的(3)不同的等价关系确定不同的自然映射,恒等关系确定的自然映射是双射,其他自然映射一般来说只是满射.例如A={1,2,3},R={1,2,2,1}∪IAg:A→A/R,g(1)=g(2)={1,2},g(3)={3}(2)A的每一个子集A’都对应于一个特征函数,不同的子集对应于不同的特征函数.例如A={a,b,c},则有={a,0,b,0,c,0}，{a,b}={a,1,b,1,c,0}158.2函数的复合与反函数主要内容复合函数基本定理函数的复合运算与函数性质反函数的存在条件反函数的性质16复合函数基本定理定理8.1设F,G是函数,则FG也是函数,且满足(1)dom(FG)={x|x∈domF∧F(x)∈domG}(2)x∈dom(FG)有FG(x)=G(F(x))证先证明FG是函数.因为F,G是关系,所以FG也是关系.若对某个x∈dom(FG)有xFGy1和xFGy2,则x,y1∈FG∧x,y2∈FGt1(x,t1∈F∧t1,y1∈G)∧t2(x,t2∈F∧t2,y2∈G)t1t2(t1=t2∧t1,y1∈G∧t2,y2∈G（F为函数）y1=y2（G为函数）所以FG为函数17证明任取x,x∈dom(FG)ty(x,t∈F∧t,y∈G)t(x∈domF∧t=F(x)∧t∈domG)x∈{x|x∈domF∧F(x)∈domG}任取x,x∈domF∧F(x)∈domGx,F(x)∈F∧F(x),G(F(x))∈Gx,G(F(x))∈FGx∈dom(FG)∧FG(x)＝G(F(x))所以(1)和(2)得证18推论推论1设F,G,H为函数,则(FG)H和F(GH)都是函数,且(FG)H=F(GH)证由上述定理和运算满足结合律得证.推论2设f:A→B,g:B→C,则fg:A→C,且x∈A都有fg(x)=g(f(x))证由上述定理知fg是函数,且dom(fg)={x|x∈domf∧f(x)∈domg}={x|x∈A∧f(x)∈B}=Aran(fg)rangC因此fg:A→C,且x∈A有fg(x)=g(f(x))19函数复合与函数性质定理8.2设f:A→B,g:B→C(1)如果f:A→B,g:B→C是满射的,则fg:A→C也是满射的(2)如果f:A→B,g:B→C是单射的,则fg:A→C也是单射的(3)如果f:A→B,g:B→C是双射的,则fg:A→C也是双射的证(1)任取c∈C,由g:B→C的满射性,b∈B使得g(b)=c.对于这个b,由f:A→B的满射性，a∈A使得f(a)=b.由合成定理有fg(a)=g(f(a))=g(b)=c从而证明了fg:A→C是满射的20证明(2)假设存在x1,x2∈A使得fg(x1)=fg(x2)由合成定理有g(f(x1))=g(f(x2))因为g:B→C是单射的,故f(x1)=f(x2).又由于f:A→B是单射的,所以x1=x2.从而证明fg:A→C是单射的.(3)由(1)和(2)得证.注意：定理逆命题不为真,即如果fg:A→C是单射(或满射、双射)的,不一定有f:A→B和g:B→C都是单射(或满射、双射)的.定理8.3设f:AB,则f=fIB=IAf（证明略）21实例考虑集合A={a1,a2,a3},B={b1,b2,b3,b4},C={c1,c2,c3}.令f={a1,b1,a2,b2,a3,b3}g={b1,c1,b2,c2,b3,c3,b4,c3}fg={a1,c1,a2,c2,a3,c3}那么f:A→B和fg:A→C是单射的,但g:B→C不是单射的.考虑集合A={a1,a2,a3},B={b1,b2,b3},C={c1,c2}.令f={a1,b1,a2,b2,a3,b2}g={b1,c1,b2,c2,b3,c2}fg={a1,c1,a2,c2,a3,c2}那么g:B→C和fg:A→C是满射的,但f:A→B不是满射的.22反函数反函数存在的条件(1)任给函数F,它的逆F1不一定是函数,只是一个二元关系.(2)任给单射函数f:A→B,则f1是函数,且是从ranf到A的双射函数,但不一定是从B到A的双射函数(3)对于双射函数f:A→B,f1:B→A是从B到A的双射函数.定理8.4设f:A→B是双射的,则f1:B→A也是双射的.证明思路：先证明f1:B→A，即f1是函数，且domf1=B,ranf1=A.再证明f1:B→A的双射性质.23证明证因为f是函数,所以f1是关系,且domf1=ranf=B,ranf1=domf=A对于任意的x∈B=domf1,假设有y1,y2∈A使得x,y1∈f1∧x,y2∈f1成立,则由逆的定义有y1,x∈f∧y2,x∈f根据f的单射性可得y1=y2,从而证明了f1是函数，且是满射的.若存在x1,x2∈B使得f1(x1)=f1(x2)=y,从而有x1,y∈f1∧x2,y∈f1y,x1∈f∧y,x2∈fx1=x2对于双射函数f:A→B,称f1:B→A是它的反函数.24反函数的性质定理8.5(1)设f:A→B是双射的,则f1f=IB,