五年级页码问题1

第24讲页码问题顾名思义，页码问题与图书的页码有密切联系。事实上，页码问题就是根据书的页码而编制出来的一类应用题。编一本书的页码，一共需要多少个数码呢？反过来，知道编一本书的页码所需的数码数量，求这本书的页数。这是页码问题中的两个基本内容。为了顺利地解答页码问题，我们先看一下“数”与“组成它的数码个数”之间的关系。一位数共有9个，组成所有的一位数需要9个数码；两位数共有90个，组成所有的两位数需要2×90＝180（个）数码；三位数共有900个，组成所有的三位数需要3×900＝2700（个）数码……为了清楚起见，我们将n位数的个数、组成所有n位数需要的数码个数、组成所有不大于n位的数需要的数码个数之间的关系列表如下：页码个数所用数字的个数1到最大页码所用数字的个数一位数91×9=99两位数902×90=180180+9=189三位数9003×900=2700189+2700=2889四位数90004×9000=3600002889+36000=38889例1一本书共204页，需多少个数码编页码？分析与解：1～9页每页上的页码是一位数，共需数码1×9＝9(个)；10～99页每页上的页码是两位数，共需数码2×90＝180(个)；100～204页每页上的页码是三位数，共需数码(204－100＋1)×3＝105×3＝315(个)．综上所述，这本书共需数码9＋180＋315＝504(个)．例2一本小说的页码，在排版时必须用2211个数码．问：这本书共有多少页？分析：因为189＜2211＜2889，所以这本书有几百页．由前面的分析知道，这本书在排三位数的页码时用了数码(2211－189)个，所以三位数的页数有(2211－189)÷3＝674(页)．因为不到三位的页数有99页，所以这本书共有：99＋674＝773(页)．解：99＋(2211－189)÷3＝773(页)．答：这本书共有773页．例3一本书的页码从1至62，即共有62页．在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码被错误地多加了一次．结果，得到的和数为2000．问：这个被多加了一次的页码是几？分析与解：因为这本书的页码从1至62，所以这本书的全书页码之和为1＋2＋…＋61＋62＝62×(62＋1)÷2＝31×63＝1953．由于多加了一个页码之后，所得到的和数为2000，所以2000减去1953就是多加了一次的那个页码，是2000－1953＝47．例4有一本48页的书，中间缺了一张，小明将残书的页码相加，得到1131．老师说小明计算错了，你知道为什么吗？分析与解：48页书的所有页码数之和为1＋2＋…＋48＝48×(48＋1)÷2＝1176．按照小明的计算，中间缺的这一张上的两个页码之和为1176－1131＝45．这两个页码应该是22页和23页．但是按照印刷的规定，书的正文从第1页起，即单数页印在正面，偶数页印在反面，所以任何一张上的两个页码，都是奇数在前，偶数在后，也就是说奇数小偶数大．小明计算出来的是缺22页和23页，这是不可能的．例5将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：123456789101112…问：左起第2000位上的数字是多少？分析与解：本题类似于“用2000个数码能排多少页的页码？”因为(2000－189)÷3＝603……2，所以2000个数码排到第99＋603＋1＝703(页)的第2个数码“0”．所以本题的第2000位数是0．例6排一本400页的书的页码，共需要多少个数码“0”？分析与解：将1～400分为四组：1～100，101～200，201～300，301～400．在1～100中共出现11次0，其余各组每组都比1～100多出现9次0，即每组出现20次0．所以共需要数码“0”典型例题：例1、13/1995化成小数后是一个无限小数，问在这个无限小数的小数点后面，从第一位到1995位，在这1995个数中，数字6共出现了多少次？解答：这是一个关于循环小数的周期问题。基本解答方法是先算出循环节，然后再统计每个周期的数字总数和每个周期中6的个数。13/1995＝0.0065162907268170426……，循环节是065162907268170426共18位，每个循环节数字6出现4次，（1995－1）÷18＝110……14，前14位6出现3次，所以一共有110×4＋3＝443个。例2、有一本96页的书，中间缺了一张。如果将残书的所有页码相加，那么可能得到偶数吗?解：假设可能得到偶数，那么计算如下：如果这本书不缺页，则总96页的所有页码之和是：1+...+96=4656。由于书中的每一页都包括连续的一个奇数和一个偶数，所以每一页上的页码之和必定是奇数。那么：残书页码和=4656(偶数)-奇数(一页上的两面页码之和)=奇数综上所述：不可能得到偶数。例3、将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：123456789101112…问：左起第1000位上的数字是多少？解：1～9页每页上的页码是一位数，共需数码1×9=9（个）；10～99页每页上的页码是两位数，共需数码2×90＝180（个）；因为(1000－189)÷3＝270……1，所以1000个数码排到第：99＋270＋1＝370(个)数的第1个数码“3”．所以本题的第1000位数是3。例4、有一本科幻故事书，每四页中，有一页为文字，其余三页为图画。如果第一页为图画，那么第二、三页也是图画，第四页为文字，第五、六、七页又为图画，依此类推。如果第一页为文字，那么第二、三、四页为图画，第五页为文字，第六、七、八页又为图画，依此类推。试问：（1）假如这本书有96页，且第一页是图画，那么这本书多少页有图画？（2）假如这本书有99页，那么多少页有图画？解：（1）将每4页看作是一组，每一组中有3页是图画：96÷4=2424×3=72(页)这本书有72页是图画。（2）99÷4=24…324×3+3=75(页)这本书有75页是图画。【例1】小明和小智是两个数学爱好者，他们经常在一起探讨数学，一次，小明对小智说：“我有一本课外读物，它的页数是一个三位数，个位数字比百位数字大4，十位数字比个位数字也大4，这本课外读物有几页？”小智稍加思索就得出了正确答案，这个答案究竟是什么呢？答案：195【例2】一本科幻小说共320页。问（1）编印这本科幻小说共用了多少数字？（2）数字0在页码中共出现了所少次？解：（1）从1到320可分为一位数、两位数、三位数。一位数：1~9页，有9个数，共9个数字二位数：10~99页，有99-10+1个数，共用90×2=180个数字三位数：100到320页，共有320-100+1=221个数，共用了221×3=663个数字。所以，这本科幻书共用了9+180+663=852（个数字）（2）32+30=60（个零）【随堂练习】五年级上学期数学课本共有131页。在这本书的页码中：（1）共用了多少数字？（2）数字1在页码中共出现了几次？答案：（1）285（2）66【例3】给一本书编页码，一共用了723个数字，这本书共有多少页？解：723－9－180－303=231231÷3=77（页）【随堂练习】排一本学生词典的页码共用了2925个数字，这本词典共有多少页？答案：1008页【例4】一本书的页码共有62页，在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码多加了一次，得到的和数为2000,。问：这个被多加一次的页码是多少？解：2000－（1＋2＋3＋…＋62）=47【随堂练习】一本书的页码从1到80，共80页。在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码漏加了，结果得到的和数为3182。问：这个被漏加的页码是多少？答案：58【例5】一本书的页码共用了39个零。问：这本书共有多少页？解：208页【随堂练习】排一本书，它的页码中共出现了71个零，问这本书共有多少页？400页【巩固练习】1.一本书从第1页开始编排页码，共用数字2355个，那么这本书共有多少页？分析：按数位分类：一位数：1～9共用数字1*9=9个；二位数：10～99共用数字2*90=180个；三位数：100～999共用数字3*900=2700个，所以所求页数不超过999页，三位数共有：2355-9-180=2166，2166÷3=722个，所以本书有722+99=821页。2.上、下两册书的页码共有687个数字，且上册比下册多5页，问上册有多少页？分析：一位数有9个数字，二位数有180个数字，所以上、下均过三位数，利用和差问题解决：和为687，差为3*5=15，大数为：（687+15）÷2=351个（351-189）÷3=54，54+99=153页。3.从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中，任取5个数相加的和与其余5个数相加的和相乘，能得到多少个不同的乘积。分析：从整体考虑分两组和不变：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55从极端考虑分成最小和最大的两组为（1+2+3+4+5）+（6+7+8+9+10）=15+40=55最接近的两组为27+28所以共有27-15+1=13个不同的积。4、从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中，任取5个数相加的和与其余5个数相加的和相乘，能得到多少个不同的乘积。分析：从整体考虑分两组和不变：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55从极端考虑分成最小和最大的两组为（1+2+3+4+5）+（6+7+8+9+10）=15+40=55最接近的两组为27+28所以共有27-15+1=13个不同的积。另从15到27的任意一数是可以组合的。5、将所有自然数，自1开始依次写下去得到：12345678910111213……，试确定第206788个位置上出现的数字。分析：与前面的题目相似，同一个知识点：一位数9个位置，二位数180个位置，三位数2700个位置，四位数36000个位置，还剩：206788-9-180-2700-36000=167899，167899÷5=33579……4所以答案为33579+100=33679的第4个数字7.有一本90页的书被人撕掉一张，结果书上页码加起来和是4012,。请问撕掉的是哪一张？1+2+…+90－4012=83（83－1）÷2=41所以，页码是41和42的这张纸。小数A=0.1234567891011121314…，在小数点后面第2010位上的数字是几？（2010－1×9－2×90）÷3＋90＋9=706，是数字6页码问题专项训练页码个数所用数字的个数1到最大页码所用数字的个数一位数91×9=99两位数902×90=180180+9=189三位数9003×900=2700189+2700=2889四位数90004×9000=3600002889+36000=38889例1：第七册数学课本共131页。请大家计算一下：编写这本书的页码共用了多少个数码？1、苏教版四年级数学书共有158页，编写这本数学书的页码共要用多少个数码？2、一本科幻小说共668页，编印这本科幻小说的页码共要用多少数码？3、一本小说共899页，编印这本小说的页码共要用多少个数码？例2：一本小说的页码在印刷时必须用1989个铅字，这本书共有多少页？1、排一本字典的页码共用了2004个数字，请你计算一下，这本词典有多少页？2、一本小说的页码，编排时必须用2211个数码，问这本书共有多少页？3、一本汉语词典从第一页到最后一页一共用了32277个数字，这本词典有多少页？例3：一本书共有500页，问：数码0在页码中出现多少次？1、一本书有608页，页码编号为1、2、3、。。。608.问：数字“1”在页码中出现多少次？2、一本书有500页，问数码“5”在页码中出现多少次？例4、一本书的页码为1至62，即共有62页。在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码漏加了。结果，得到的和数为1939。问：这个被漏加的页码是几？1、一本书有69页，小刚在把书的页码加起来的时候，有一个页码被错误地多加了一次，结果得到的和是2470.这个被误加的页码是多少？2、一本儿童读物有108页，小明在把书的页码加起来的时候