仓储容量有限的不允许缺货的超市商品随机订货销售存贮模型

1仓储容量有限的不允许缺货的超市商品随机订货销售存贮模型数学与计算机科学学院数学与应用数学专业105012004033叶蓉指导老师：林惠玲【摘要】本文对基于超市几种商品的销售量的分析而选择的存贮模型进行理论分析，从而对超市的库存管理提出一定的指导建议.【关键词】存贮模型；销售量；订货量;库存量库存论也称为库存管理或存贮论，是运筹学的一个研究领域，存贮论的发展可以追溯到上世纪末研究的银行保持多少流通现金问题.在1915年，Harris建立了最佳批量公式，但真正作为一门理论，还是本世纪50年代的事.从50年代后开始，讨论存贮问题的文章陆续发表，而且这些资料，对现实社会仍具有一定的指导意义.如今市场竞争的愈演愈烈，超市商品的供应链管理日益受到超市管理者的重视，而库存量、进货量等问题成为供应链管理的关键问题，如何制定最优的库存策略成为管理者必须解决的问题.超市商品有些是不允许缺货的，一旦缺货不仅会造成经济损失还会带来信誉等方面的损失，若商品过多，会造成商品的积压、资金积压、占用库房、保管费、管理费的增加，以及商品放置时间太长造成商品的变质与失效等损失.因此科学地组织库存管理，权衡库存量的多少，以及何时补充存量，补充多少等，成了库存论研究的重要问题.所以控制库存的基本问题是要解决订货多少和何时订货，目的是既可以解决不缺货又可以使经济效益达到最优，为此，管理者需要寻找数学模型并提出合理的解决方法.经典的经济订购批量模型（EOQ）广泛应用在管理中，由于此种订货模式订购简便，便于管理，所以直到现在仍有它的实用意义，但这种模型假定物品的需求和其它参数保持不变，有了一定的局限性，满足不了多样化商品的管理要求，因此，就出现了随机性存储模型.随机性存储模型常用的模式有定点订货模式和定期订货模式.根据福州好又多超市订货数据显示，超市采取的是定期订货模式与定点订货模式相结合的方法，即每隔一段时间检查一次库存量，如果库存量高于安全库存量，则不订货，如果，低与安全库存量，则订货；且当库存量达到某个值时开始订货，其订货量要使库存量达到某个数量.本文对超市几种商品根据其销售情况采用不同的存贮模型，将得到的理论数据与实际的订货量进行比较,对选择的存贮模型进行检验.在好又多超市（五里亭店）选取的三样商品，分别为伊利特浓酸奶（1008×g，单位：盒）、海飞丝海洋活力型400ml洗发水（单位：瓶）和355ml装的可口可乐（单位：罐），分别对其库存和销售数据进行分析.选取这三种商品的出发点是它们的保质期分别是短，长，中等.此外，从人们生活中出发，选取一些日常必须的商品，更有实际意义.以下对文章中涉及到的费用进行一定说明：存贮费包括利息、商品的贮存损耗，陈旧和跌价损失、商品的税金和保险费等、仓库的折旧费，保管费，通风，照明，起重，自控设备，房租，地租等费用、仓库内部搬运费、其他管理费等，并假设在所讨论的时间内单位商品的存贮费是不变的，且与存贮的数量成正比.存贮费的一种常用算法是单位商品在单位时间内的存贮费占该商品单位成本的百分之几，而所占百分比由商品的重要程度决定.商品的订购费指订购一次的费用，包括采购部门的估价、核对、订购、催查、联络通讯、出差旅费；检查部门的进货检查；仓贮部门的验收、入库、搬运；财会部门的会计、出纳费用等.1.易变质商品的一种存贮模型及其应用21.1模型介绍伊利特浓酸奶属于易变质食品，先对选择的模型[1]的符号和假设以及最后结论进行介绍：T：订货周期(即两次订货之间的时间间隔)；x:在订货期T内超市出售价格；p：超市进货价格；q：物品的变质率(0≤q1)；*T：最优订货周期；bS：超市的每次订货成本；F：单位物品在单位时间内库存成本与购买成本的比率；()Qt：在订货周期T内在t时刻的库存量；0Q：每一订货周期的订货量.模型中的几个假设为：(1)零售商订货周期T内单位时间的需求随其出售价格的降低而增大，本文中假设()(,0)aDxabxpxabb=-，其中a为需求规模，b为价格敏感系数.(2)不允许缺货.(3)补充货物量是连续、瞬时的.(4)物品在存贮的过程中在单位时间内以常数q比率发生变质，并且是不可以修复的.(5)只考虑一种物品.(6)所购买的物品在进入库存后变质现象才开始发生.得出的结论为：最佳的订货周期*2(2)()bSTFpabxq=+-；每一周期的订货量*0(1)TabxQeqq-=-.1.2模型应用表1-13月份伊利特浓酸奶每天的销售量日期（日）12345678910111213141516销售量（盒）24221839144168985142333016322644日期（日）171819202122232425262728293031销售量（盒）223751354451593542312827536516表1-23月份伊利特浓酸奶的订货量日期（日）12345678910111213141516订货量（盒）01620000001600100030040060日期（日）171819202122232425262728293031销售量（盒）1204806404808008080800800伊利特浓酸奶的进货价为10.2元，售价为11.8元，3月8日超市举行了促销活动，促销时售价为11.3元，由于售价下降，因此导致销售量会略为上升.超市的订货周期T可以从表1-2看出，订货周期为1天，当库存量小于某个值时马上订货.模型中假设的()(,0)aDxabxpxabb=-，其中a为需求规模，b为价格敏感系数，可以根据促销时此种商品的价格下调时的销售量与平时的销售量来确定a和b，将a定为本月除去促销当日的销售量的均值，根据表1-1，知36.53333a=，由于销售量是整数，所以对求出的均值进行取整数，经过四舍五入确定37a=.b为价格敏感系数，除去促销那天的销售量，其3余天数的平均销售量为36.53，将促销当天的销售量除以平时的平均销售量，得到2.65b=，所以确定了()372.65Dxx=-.牛奶的变质率比较高，此种商品的保质期为25天，与利乐盒装的牛奶保质期8个月相比，将q近似为0.05.超市每次的订货成本为15元.单位物品在单位时间内库存成本与购买成本的比率F为0.3.根据模型，得出最佳的订货周期为*2(2)()bSTFpabxq=+-，经过计算*2151.28(0.320.05)10.2(372.6511.8)T×=≈+×××-×，由于超市的经营模式，将最佳订货周期定为2天.并且结合定点订货模式，当库存量低于某一数值时，立即订货.每一周期的订货量*0(1)TabxQeqq-=-，经过计算得0.120372.6511.8(1)25.20.05Qe×-×=-≈，取整数得每一周期的订货量为26盒.对比实际订货情况，差别比较大，分析其原因，主要是变质率无法准确的用数量来描述，本文选取利乐装的牛奶作为参考对象，如果选取其他的参考对象，求出的订货周期和订货量将是不同的.现实则是根据销售量来决定订货量，且考虑变质率，由于3月3日订货量较大，积压商品较多，因此需要通过促销来减小商品因为变质带来的损失.而且对比商品的订货量，订货周期，可以看出超市的订货周期不是2天，而是根据实际库存量来决定是否订货.2.确定性存贮模型及其应用2.1模型介绍如果把可口可乐的销售的备运期、交货的数量、销售量都看作是确定的，那么选择模型[2]，将此模型的符号和假设进行介绍：在一定时间内,假定为一个月,需求量为D件,订购费为K元,一件每月存贮费为1C元.每批进货量为Q,一个周期的时间长度(即相邻两次订货的间隔时间)为t.设每批进货量为Q,一个周期的时间长度(即相邻两次订货的间隔时间)为t,则/tQD=.一个周期t内的存贮费为211122CQQCQDD=.但是周期的长度是变量,故计算一个周期的费用是没有意义的.因而需要算一定时间内,例如一个月内的总费用是多少.现在把上述两项费用都化为下面以月为单位的费用:一个月的存贮费为211/(/)22CQCQQDD=;4一个月的订购费为/(/)KDKQDQ=;总费用是两者之和,记为1()2CQKDfQQ=+.求()fQ的极值,即()0fQ′=,得1202CKDQ-=,212KDQC=,故得*12KDQC=（1-1）又32()KDfQQ′′=,当0Q时,()0fQ′′,故*12KDQC=时,()fQ有极小值.它就是在这种给定条件下的最佳批量公式,通常也称作经济订购批量(EOQ)模型，其最小总费用是*112()()2KDfQfCKDC==.如果表示物资的数量是实数,那么*Q就是每次应订购的数量;如果是整数,则*Q应四舍五入(或去尾数,进尾数)取整数.这里的单位是罐，故应取整数.从总费用的角度来看，如果订购费相对与存贮费相当大,那么一次就多订购一些,而订购的时间间隔长;反之,如果存贮费相对与订购费相当大,那么就尽量增加订购的次数,使库存量尽可能小一些.从(1-1)式可见,*Q不是与需求量D成正比,而是与D的平方根成正比.当订购费0K=时,则最佳批量也是0.这意味着订购的次数越多越好.在这种情况下,可与订购单位协商,尽可能增加批次,就可节省总的费用.如果备运期为(0)LL≠,那么只要提前时间L订货就行了.例如可口可乐的备运期是两天，因此只要提前两天订货就行了.2.2模型应用2.2.1表2-13月份可口可乐每天的销售量日期（日）12345678910111213141516销售量（罐）1413123189781912720752319日期（日）171819202122232425262728293031销售量（罐）481081157594103217163如果看做是销售量是确定的，取这31天销售量的中位数，中位数为9，备运期和交货的数量也都是确定的，那么符合模型的假设.需求量D为279罐，订购费为K为2.5元,一件每月存贮费1C为0.5元.代5入公式1-1，可得到每批进货量22.527952.850.5Q××=≈，四舍五入取整数为53罐，订货周期为6天.因此超市应该每六天订货一次，每次订货量为53罐.2.2.2表2-23月份海飞丝海洋活力型400ml洗发水每天的销售量日期（日）12345678910111213141516销售量（瓶）412121223123506566日期（日）171819202122232425262728293031销售量（瓶）110010104112100如果按照确定性模型来计算订货量和订货周期，那么根据表2-2的数据，可知每天的需求量为1瓶（每天销售量的中位数），因此需求量D为31瓶，订购费K为2元,一件每月存贮费1C为0.6元.代入公式1-1，可得到每批进货量223114.350.6Q××=≈，四舍五入取整数为14瓶，订货周期为14天.因此超市应该每14天订货一次，每次订货量为14瓶.3．随机性存贮模型及其应用3.1模型介绍现实中商品的销售并不是确定的，因此有必要采取随机性存贮模型[2]，设一定时间内的平均销售量为D,则仍可用上述最佳批量公式,但D换成D,1,KC的意义同前.对于随机性模型来说，每天的销售量是随机的，不允许缺货的概率达不到100%，因此，所谓的不缺货是在一定的条件，即规定的信度下的不缺货，根据确定的可信度寻找b，即安全库存系数.可信度越高，缺货的概率越小，同时要求b的值也越大.当备运期为零时,库存量降到零时就订货,每次订货量为*12KDQC=.当备运期是常数,且大于零时,先算出备运期内的销售量l的均值l和均方差ld,那么llbd+就是订货点.这里lbd称为安全库存量,又称保险库存量.安全库存量对可能发生的供应脱节的情况给予一定的安全保障.当库存降到llbd+时就订货.订货的数量是*12KDQC=.此类订货模式称为定点订货模式.如果定期的长度(周期)可以自己决定,那么用最佳批量公式*12KDQC=,可以算得定期的长度6**12QKtDCD==.但有些时候,定期的长度就是事先确定的,例如一个月订货一次.在这种情况下,周期内的平均需要量自然也是已知的.设一个周期中销售量的均值为Q,均方差为Qd