质量工程师中级考试(公式精华)@微积分公式

理论与实务（中级）主要公式汇总第一章1、样本均值x：xn1niix12、样本中位数Me：x(21n)，当n为奇数Me=21[x(2n)+x(2n+1)]，当n为偶数3、样本众数Mod：样本中出现频率最高的值。4、样本极差R：R=X（max）-X（min）5、样本方差S2:S2=11nni1(xi-x)2=11n[ni1x2i-nx2]=11n[ni1x2i-nXini21]6、样本变异系数cv：cv=xs7、排列：Prn=n(n-1)…(n-r+1)8、组合：（nr）=Prn/r!=n!/r!(n-r)!9、不放回抽样P（Am）：共有N个，不合格品M个，抽n个，恰有m个不合格品的概率Am。（Mn）（N-Mn-m）P（Am）=，m=0，1，…，r（Nn）10、放回抽样P（Bm）：P（Bm）=（nm）(NM)m(1-NM)n-m，m=0，1，…，n11、概率性质：11.1非负性：0≤P（A）≤111.2：P（A）+P（A）=111.3若AB：P(A-B)=P（A）-P（B）11.4P(A∪B)=P（A）+P（B）-P（AB）；若A与B互不相容，P（AB）=011.5对于多个互不相容事件：P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)12、条件概率：P（A|B）P（A|B）=BPABP，（P（B）0）13、随机变量分布的均值E（X）、方差Var（X）与标准差σ（X）ixipi，X是离散分布13.1E（X）=badxxxp，X是连续分布i[xi-E（X）]2pi，X是离散分布13.2Var（X）=badxxpXEx2][，X是连续分布13.3σ=σ（X）=XVar14、常用分布14.1二项分布：P（X=x）=(nx)Px（1-P）n-x，x=0，1，…，nE（X）=np；Var（X）=np(1-p)14.2泊松分布：P（X=x）=!xxe，x=0，1，2，…E（X）=λ；Var（X）=λ14.3超几何分布：（Mx）（N-Mn-x）P（X=x）=，x=0，1，…，r（Nn）E（X）=NnM；Var（X）=1NnNnNM（1-NM）14.4正态分布：P（x）=21e222_x，-x常记为N（μ，σ2）14.5标准正态分布：P（x）=21e2_2x，-x常记为N（0，1）另：P（ua）=1-Φ(a)；Φ(-a)=1-Φ(a)；P(a≤u≤b)=Φ(b)-Φ(a)X～N(μ，σ2)，则U=X～N(0，1)14.6均匀分布：ab1，axbp(x)=0，其他E（X）=（a+b）/2；Var（X）=122ab14.7对数正态分布：μx=E（X）=exp{μy+σ2y/2}σ2x=Var（X）=μ2x{exp(σ2y)-1}14.8指数分布：λex，x≥0p(x)=0，x0E（X）=1/λ；Var（X）=1/λ215、样本均值的分布：E（x）=μ，Var（x）=σ2/n16、方差未知时，正态均值的x的分布—t分布：当σ已知时，nx/～N(0，1)当σ未知时，nsx/=211XXnxni，记为t(n-1)17、正态样本方差的s2的分布—2的分布221sn=niiXX122～2（n-1）18、两个独立的正态样本方差之比的分布—F分布2221ss=miiniiYYmXXn12121111～F（n-1,m-1）19、一个正态总体均值、方差、标准差的1-α置信区间参数条件1-α置信区间μσ已知x±u1-α/2nμσ未知x±t1-α/2(n-1)nsσ2μ未知[1122/12nsn,1122/2nsn]σμ未知[1122/1nns,1122/nns]20、比例p的置信区间x±u1-α/2nxx/121、单个正态总体均值μ，方差σ2的检验检验法条件H0H1检验统计量拒绝域u检验σ已知μ≤μ0μ≥μ0μ=μ0μμ0μμ0μ≠μ0u=nx/{uu1-α}{uuα}{|u|u1-α/2}t检验σ未知μ≤μ0μ≥μ0μ=μ0μμ0μμ0μ≠μ0t=nsx/{tt1-α(n-1)}{ttα(n-1)}{|t|t1-α/2(n-1)}2检验u未知2≤202≥202=202202202≠202=2021sn{221(n-1)}{22(n-1)}{222/(n-1)}或{222/1(n-1)}22、有关比例p的假设检验u=npppx/1近似服从N（0，1）第二章（返回首页）1、方差分析中的ST、SA、Se、fT、fA、fe、VA、Ve：ST=211rimjijyy=rimjijy112nT2自由度：fT=n-1=rm-1SA=riiyym12=riinTmT122自由度：fA=r-1Se=ST-SA自由度：fe=fT-fA=r(m-1)VA=SA/fA，Ve=Se/fe，F=VA/Ve2、相关系数：r=yyxxxyLLLnTTyxyyxxLyxiiiixy/nTxxxLxixx/222nTyyyLyiyy/222其中Tx=ix，Ty=iy拒绝域为：W={|r|22/1nr}3、一元线性回归方程：iibxayˆb=xxxyLL/，a=xby4、回归方程的显著性检验（方差分析）：总离差平方和ST、回归平方和SR、残差平方和SE及其自由度ST=Lyy，SR=bLxy，SE=ST-SRfT=n-1，fR=1，fE=fT-fR=n-2，F=EERRfSfS//5、利用回归方程进行预测：00ˆbxay可以给出1-的y的预测区间（0ˆy，0ˆy）xxLxxnnt//112ˆ202/16、一般的正交表为Ln（qp）n=qk，k=2，3，4，…，p=(n-1)/(q-1)第三章（返回首页）1、接收概率1.1超几何分布计算法：此公式用于有限总体计件抽检时。L（p）=AdnNdnNpNdNp01.2二项分布计算法：此公式用于无限总体计件抽检时。L（p）=Addndppdn011.3泊松分布计算法：此公式用于计点抽检时。L（p）=Adnpdeednp071828.2!2、计数挑选型抽样平均检验总数（ATI），记作II=nL(p)+N[1-L(p)]3、计数挑选型抽样平均检出质量（AOQ）AOQpLp第四章（返回首页）1、双侧公差过程能力指数：66LupTTTC2、单侧公差过程能力指数：UupUTXTC3LLpLTXTC33、有偏移情况的过程能力指数：611TKCKCppK其中K=T2第五章（返回首页）1、可靠度函数、累积故障（失效）分布函数R（t）+F(t)=12、故障密度函数：f(t)=ttduuftRduuftFdttdF或或03、可靠度：R（t）=00NtrN4、故障（失效）率：ttNtrts5、平均失效（故障）前时间（MTTF）：MTTF=0101NiitN当产品的寿命服从指数分布时，MTTF=10te6、平均故障间隔时间（MTBF）可修复产品，MTBF=0101NiitN=0NT完全修复的产品，MTBF=MTTF=0dttR7、平均修复时间（MTTR）MTTR=Niint1第六章（返回首页）1、西格码水平Z：Z=2LUTT2、百万机会缺陷数DPMO：DPMO=机会数产品数总的缺陷数610一、多元函数的微分学二元函数的定义设有两个独立的变量x与y在其给定的变域中D中，任取一组数值时，第三个变量z就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量z称为变量x与y的二元函数。记作：z=f(x,y).其中x与y称为自变量，函数z也叫做因变量，自变量x与y的变域D称为函数的定义域。关于二元函数的定义域的问题我们知道一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间.二元函数的定义域通常是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面.这样的部分在平面称为区域.围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭域，不包括边界在内的区域称为开域。如果一个区域D(开域或闭域)中任意两点之间的距离都不超过某一常数M，则称D为有界区域；否则称D为无界区域。常见的区域有矩形域和圆形域。如下图所示：例题：求的定义域.解答：该函数的定义域为：x≥,y≥0.二元函数的几何表示把自变量x、y及因变量z当作空间点的直角坐标，先在xOy平面内作出函数z=f(x,y)的定义域D；再过D域中得任一点M(x,y)作垂直于xOy平面的有向线段MP,使其值为与(x,y)对应的函数值z；当M点在D中变动时，对应的P点的轨迹就是函数z=f(x,y)的几何图形.它通常是一张曲面，其定义域D就是此曲面在xOy平面上的投影。二元函数的极限及其连续性在一元函数中，我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函数的极限。对于二元函数z=f(x,y)我们同样可以学习当自变量x与y趋向于有限值ξ与η时，函数z的变化状态。在平面xOy上，(x,y)趋向(ξ,η)的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。如果当点(x,y)以任意方式趋向点(ξ,η)时，f(x,y)总是趋向于一个确定的常数A，那末就称A是二元函数f(x,y)当(x,y)→(ξ,η)时的极限。这种极限通常称为二重极限。下面我们用ε-δ语言给出二重极限的严格定义：二重极限的定义如果定义于(ξ,η)的某一去心邻域的一个二元函数f(x,y)跟一个确定的常数A有如下关系：对于任意给定的正数ε，无论怎样小，相应的必有另一个正数δ，凡是满足的一切(x,y)都使不等式成立，那末常数A称为函数f(x,y)当(x,y)→(ξ,η)时的二重极限。正像一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则：二重极限的运算法则如果当（x,y)→(ξ,η)时，f(x,y)→A，g(x,y)→B.那末(1)：f(x,y)±g(x,y)→A±B；(2)：f(x,y).g(x,y)→A.B；(3)：f(x,y)/g(x,y)→A/B；其中B≠0像一元函数一样，我们可以利用二重极限来给出二元函数连续的定义：二元函数的连续性如果当点(x,y)趋向点(x0,y0)时，函数f(x,y)的二重极限等于f(x,y)在点(x0,y0)处的函数值f(x0,y0)，那末称函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续.如果f(x,y)在区域D的每一点都连续，那末称它在区域D连续。如果函数z=f(x,y)在(x0,y0)不满足连续的定义，那末我们就称(x0,y0)是f(x,y)的一个间断点。关于二元函数间断的问题二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似，但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点，还有间断线。二元连续函数的和，差，积，商(分母不为零）和复合函数仍是连续函数。例题：求下面函数的间断线解答：x=0与y=0都是函数的间断线。偏导数在一元函数中，我们已经知道导数就是函数的变化率。对于二元函数我们同样要研究它的变化率。然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多.在xOy平面内，当变点由(x0,y0)沿不同方向变化时，函数f(x,y)的变化快慢一般说来时不同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)点处沿不同方向的变化率。在这里我们只学习(x,y)沿着平行于x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时f(x,y)的变化率。偏导数的定义设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y