空间平面方程

一、平面的确定条件返回下一页上一页空间平面方程三、平面的一般方程二、点法式方程四、两平面夹角一、平面的确定条件由立体几何知道，过空间一点可以而且只可以作一个垂直于一条已知直线的平面．利用这个结论，若平面经过一定点M0(x0,y0,z0),且与向量n={A,B,C}垂直,则这个平面就唯一确定了．与平面垂直的非零向量称为该平面的法向量．那么，可以确定平面的两个条件是：返回下一页上一页返回下一页上一页).,,()1(0000zyxM经过定点}.,,{)2(CBAn平面的法向量下面我们利用以上结论建立平面的方程．现在来建立平面的方程.设平面过点,),,(0000zyxM是平面的法向量.在平面上任取一点M(x,y,z)，则点M在平面上的充要条件是,n0MM.0n0MM即nMM0.,,CBAn二、点法式方程返回下一页上一页该方程称为平面的点法式方程.,0)()()(000zzCyyBxxA,,,0000zzyyxxMM因为所以有,,,nCBA返回下一页上一页例5-10求过点(2,1,1)且垂直于向量i+2j+3k的平面方程.解所求平面的法向量n=i+2j+3k，又因为平面过(2,1,1)，所以由公式可得该平面方程为,0)1(3)1(2)2(zyx即x+2y+3z－7=0.返回下一页上一页解所求平面方程为,0)4()1(9)2(14zyx化简得.015914zyx例5-11求过三点)4,1,2(-A、)2,3,1(--B和)3,2,0(C的平面方程.返回下一页上一页},1,3,2{},6,4,3{ACAB取},1,9,14{ACABn由平面的点法式方程0)()()(000zzCyyBxxA0)(000CzByAxCzByAxD0DCzByAx平面的一般方程法向量}.,,{CBAn三、平面的一般方程返回下一页上一页平面一般方程的几种特殊情况：,0)1(D平面通过坐标原点；,0)2(A,0,0DD平面通过轴；x平面平行于轴；x,0)3(BA平面平行于坐标面；xoy类似地可讨论情形.0,0CBCA0,0CB类似地可讨论情形返回下一页上一页例5-12设一平面通过x轴和点M(4,3,1)，试求该平面的方程.解因为所求平面通过x轴，所以可设它的方程为By+Cz=0.由于点M在所求的平面上，因此有3BC=0，将C=3B代回方程④，并简化，即得所求平面方程为y3z=0④返回下一页上一页设平面两平面法向量的夹角称为两平面的夹角.,011111DzCyBxA.022222DzCyBxA它们的夹角为.222222212121212121CBACBACCBBAA④212121),(coscosnnnnnn四、两平面的夹角返回下一页上一页返回下一页上一页则平面1、2垂直的充要条件是A1A2+B1B2+C1C2=0；平行的充要条件是.212121CCBBAA例5-13求两平面xy+2z+3=0与2x+y+z5=0的夹角.解由公式④得2222221122)1(1212cos,21.3所以返回下一页上一页