并联谐振的推导及理解

jbb0523(彬彬有礼)理论笔记系列文档第1页并联谐振作者：jbb0523(彬彬有礼)第一部分：GCL并联谐振推导谐振（Resonance）是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现象。它的定义是：含有R、L、C的单端口电路，在特定条件下出现了端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。一般教材中均以RCL串联谐振为例来推导谐振的各种特性，在分析并联谐振电路时仅根据对偶原理直接给出GCL并联谐振电路的结果。为了更清楚的了解GCL并联谐振电路，此处以GCL并联电路为例来推导谐振电路的特性。LICIGIIU图1GCL并联谐振电路对图1所示的GCL并联电路，在正弦稳态下，其输入导纳为BGLCGYj1j)j(00（1）当电路发生谐振时，端口电压U和端口电流I同相，输入导纳的虚部为零，即0100LCB（2）或者写成LCBB式(2)称为GCL并联电路的谐振条件。由此可得电路的谐振频率为LC10（3）或者LCf210（4）由于谐振时输入导纳的电纳分量为零，所以，由式（1）得电路的谐振导纳0Y为GjYY00)(即电路谐振时的输入导纳为一纯电导。并且有GYBGY022谐振时，输入导纳的模值取得最小值；电容和电感相并联部分的支路相当于开路。假定端口输入电流幅值保持不变，则在谐振状态下，端口电压的有效值0U为GIU0而在非谐振状态下，端口电压的有效值U为jbb0523(彬彬有礼)理论笔记系列文档第2页022UGIBGIU所以谐振时端口电压的有效值取得最大值，并且完全取决于电导G，与电容和电感无关。谐振时，LC001，将式（3）代入得1100LCLC式中：为GCL并联谐振电路的特性阻抗，它是一个由电路参数C和L决定的量。谐振时，流过电容和电感的电流分别为IQGIULIIQGIUCILCj1jj1j1jj000000（5）其中LCGRLGCGQ11100称为GCL并联谐振电路的品质因数或者谐振系数，工程上简称为Q值。它是一个仅由电路参数决定的无量纲的量。电导越大，Q值越小。由式（5）可知，在谐振状态下，CI和LI大小相等，相位相反，完全抵消。它们的有效值都为端口输入电流有效值的Q倍。即IIIIQLC00所以并联谐振又称为电流谐振。这时，端口输入电流I全都流过电导，电导电流的有效值达到了电大值。当1Q，电路接近谐振状态时，流过电容和电感的会远远远大于端口输入电流。在一些无线电设备中，利用此谐振特性可提高微弱信号的幅值，并把它选择出来。应该指出，流过电容和电感的电流有效值的大小与频率有关，它们的最大值一般并不出现在谐振频率处。当品质因数较高时，它们的最大值与谐振时的值相差很小。谐振时，电容和电感中所储存的能量总和为tLItCUtWtWtWLLC02200220cossin)()()(而00001ULCULIL所以222020020220)cos(sin)(ILQLICUttCUtWLjbb0523(彬彬有礼)理论笔记系列文档第3页可见，谐振时电路所储存的总能量)(tW是不随时间变化的常量，且与品质因数Q的平方成正比，也与端口输入电流有效值的平方成正比。为了研究GCL并联电路的谐振性能，现在来讨论电路的频率特性。图1所示电路两端的电压为LCGIYIU1j（7）将式（7）两边同除以谐振时的商品电压GIU/0，得000j1111j11QLCGUU相应的幅频特性和相频特性分别为2002011QUU，00arctan)(Q（8）根据通频带的定义，令707.0/0UU，由式（8）得100Q由此得通频带的上、下限频率分别为2004112QQCH，2004112QQCL通频带为QBWCLCH0可知，当电路的谐振频率一定时，Q值越高，通频带越窄。第二部分：实用并联谐振电路RCL图2实用并联谐振电路在工程上经常用电感线圈与电容并联的谐振电路，其电路模型如图2所示。此处可以jbb0523(彬彬有礼)理论笔记系列文档第4页将R理解为非理想电感器的内阻。电路输入导纳为222222jj1jLRLCLRRLRCY由此得电路前并联谐振的条件为0222LRLC所以，电路的谐振频率为LCRLCCLCRL222011（9）由式（9）可知，电路的谐振频率仅由电路的参数决定。由于只有012LCR，即CLR时，0才是一个实数，所以只有CLR，电路才会发生谐振。在实际中，一般都选择参数满足CLR，则电路的谐振频率可近似为LC10在此情况下，LCL0，电路近似行将为GCL并联电路，如图3，此时输入导纳为LCLRLRLCLRRLRCY1jjj1j22222222于是，电导LRCLRG220，则电路的品质因数CLRLGGCQ1100。图3RLC并联谐振与GCL串联谐振等效第三部分：一些归纳总结这里再补充一点：对于仅有储能元件（电容C与电感L）组成的电路，谐振频率的个数等于储能元件个数减去一。jbb0523(彬彬有礼)理论笔记系列文档第5页图4多谐振频率电路示例图4中共有4个储能元件，电感1L和电容1C组成的并联电路存在一个并联谐振频率，电感2L和电容2C组成的并联电路存在一个并联谐振频率。电感1L和电容1C可以等效成一个电抗元件1X，电感2L和电容2C可以等效成一个电抗元件2X，1X和2X在频率不同时可以呈现出感性或容性，因此当1X和2X分别表现为电容(电感)和电感(电容)时可能还存在另外一个串联谐振频率。下表给出了几个有关谐振的结论：表1有关谐振的几个结论条件并联谐振串联谐振相当于开路相当于短路端口电压取得最大值端口电流取得最大值谐振频率处电容和电感支路电流有效值均为端口电流有效值Q倍（非最大值）电容和电感两端电压有效值均为端口电压有效值Q倍（非最大值）小于谐振频率呈现感性，可等效为电感呈现容性，可等效为电容大于谐振频率呈现容性，可等效为电容呈现感性，可等效为电感其它对于仅有储能元件（电容C与电感L）组成的电路，谐振频率的个数等于储能元件个数减去一。下面再以信号与系统的角度分析一下谐振电路。)(tuC)(tuC)(tiL)(tiL)(tus)(tus)(tis)(tisLRa2)(CGb2)(CGc2)(LRd2)(图5几种典型的二阶RLC/GCL电路jbb0523(彬彬有礼)理论笔记系列文档第6页如图5所示是四种RLC/GCL电路。图5(a)和(b)所示电路中，若以)(tus为激励)(tf，)(tuc为响应)(ty；图5(c)和(d)分别是图(a)和(b)的对偶电路，若以)(tis为激励)(tf，)(tiL为响应)(ty，则描述这四种电路的微分方程为)()()('2)(''2020tftytyty式中称为阻尼系数，其值已分别标注于各图中；LC10，即谐振频率。上述微分方程的两个特征根2022,1对于不同的和0值，特征根有四种情况，它们分别对应于过阻尼、临界、欠阻尼和等幅振荡。表2列出了相应的冲激相应和阶跃响应。表2二阶系统的冲激响应和阶跃响应冲激响应)(th阶跃响应)(tg过阻尼2020)(2)()(20teett)(221)()(teett临界0)(20ttet)()1(10tett欠阻尼2200)()sin(20ttetarctan)()sin(10ttet等幅振荡000)()sin(00tt)()cos(10tt对于图5四个电路，LR2或CG2，前面定义CL为特性阻抗，若特性阻抗的倒数LC定义为特性导纳，对于和0的不同大小关系等价于R(或G)与特性阻抗（或特性导纳）之间的关系，如表3所示。jbb0523(彬彬有礼)理论笔记系列文档第7页表3和0的关系另一种等价000LR2CLR2CLR2CLR2CG2LCG2LCG2LCG2若直接从信号与系统的角度来说，0时特征根为两个不等的实根，0时特征根为两个相等的实根，0时特征根为一对共轭的虚根。根据特征根与响应的关系可以得到冲激响应的收敛形式。冲激响应可以理解为上电后给电路一部分能量后即不再有能量输入，因此电路中的能量慢慢地被耗能元件消耗掉；而阶跃响应可以理解为上电后一直给电路均匀地输入恒定的能量，因此电路响应逐渐趋于稳定。若从定性的角度来分析冲激响应，当谐振电路中的耗能元件（电阻或电导）大于两倍的特性阻抗（导纳）时，耗能元件很快消耗了电路中的能量，因此没有振荡就归零了；谐振电路中的耗能元件（电阻或电导）等于两倍的特性阻抗（导纳）时为一种临界状态；而谐振电路中的耗能元件（电阻或电导）小于两倍的特性阻抗（导纳）时，则在电路中的能量不能很快的消耗完，在电感和电容之间经过若干次能量转换（即振荡）后慢慢地被耗能元件消耗掉。当0即电阻或电导为零时，电路中无耗能元件，因此对于冲激响应来说，上电时给注入的能量一直在电容和电感之间转化，而且没有能量损耗，所以做着等幅振荡。个人认为图5中的(a)(d)是两种实际中的基本谐振电路，图中的R为非理想电感器的电阻，(b)(c)为两种变换形式。后记：仔细琢磨一下并联谐振本来是为了配合研究射频C类功率放大器的，因为C类功放的导通角小于90°（另一说小于180°，都一样，差着二倍的关系），失真很严重，因此谐波分量很丰富，因此需要用一个谐振回路将基频（选择其它频率成分就成了倍频器）选出来。C类功放看了好一阵子，基本把射频CDE三类功放的基本原理看明白了，但发现自己的理解仅限于‘明白’，并没有多少自己的感想，因此就没敢写总结之类的东西。这篇并联谐振的总结个人感觉写的很乱，没有表达出自己想表达的意思，至少没有按照一种通俗易通的方式表达出自己的理解，就作为自己成长路上的一个纪念吧，主要就是课本上推导的是串联谐振，但看C类功放时大部分是并联谐振，于是推导一下作为一份资料供以后查用，也许以后此部分内容会有更新的。谐振这一块还是有些不理解的地方：一是选用电流谐振还是电压谐振；（涉及选用串联还是并联谐振，怎么选呢？）二是Q值的理解；（储能与耗能之比，还是不太理解……）三是特性（征）阻抗的理解；（表达式与无损耗传输线相同，有啥联系呢？）期待拨云见日的那一天……jbb0523(彬彬有礼)理论笔记系列文档第8页附表RLC串联谐振电路和GCL并联谐振电路的特性谐振形式串联谐振并联谐振别名电压谐振电流谐振谐振条件0100CLX0100LCB谐振频率LC10LC10特性阻抗CLCL品质因数RCRRLQ001GLGGCQ1100谐振时的导抗为最小ZRZ,0为最小YGY,0谐振时的电压或电流RUI0U一定，I取得最大值GIU0I一定，U取得最大值储能元件的电压或电流UQULj0UQUCj0IQICj0IQILj0电磁总能量22)(UCQtW22)(ILQtW通用曲线表达式2002011QII2002011QUU通频带QBW0QBW0