函数单调性教案

1函数的单调性一、教材分析：本小节是函数性质之一单调性，揭示了函数图像的趋势，表示了自变量和因变量之间的关系，是数形结合数学思想的基础，与函数的奇偶性呈并列的关系，他俩从不同侧面研究函数性质。在函数性质中具有举足轻重的地位。本节利用图像观察推导单调性判断方法，该方法再次体现了数形结合的主要思想。二、教学目标：(一)知识目标：1、理解函数单调性的概念，会根据函数的图像判断函数的单调性；2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。(二)能力目标：1、培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力；2、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。(三)情感目标1、通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯；2、通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心。三、教学重难点：重点：函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法。难点：函数单调性的判断与证明。四、课型：新授课五、教学方法、手段：方法：启发引导与自主探究讨论相结合。手段：多媒体辅助课堂教学。六、教学设计思想：我从生活中的实例导入，层层设疑，引导学生观察图像，数形结合，为了进一步研究单调性，接着给出了学生熟悉的函数xy2，xy2，2xy图像，以这些基本图形为素材，逐步由形到数引导学生发现图像上升或下降时函数值的变化规律，再推广到一般函数，从而得出增减函数定义。学生归纳出判断的方法及步骤并进行简单的应用。应用上：运用课本例2对应练习及思考题目利用讲练结合启发联想形式，例题讲解以启发引导为主，练习时放手让学生独立完成，体现自主特点。思考题让2学生能够举一反三，体会由特殊到一般的数学思想。为了让学生掌握定义及判断方法培养严密的数学语言表达能力，我让学生自己总结，利于理解本节知识体系。作业布置体现层次性，照顾各层次的同学。教学流程教学内容教师活动学生活动教学意图(一)情景导课引例1：招远市昨天24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图你能看出一天中温度的变化趋势吗？这种某一区域内函数上升或下降的趋势叫函数的单调性怎么用数学语言来表述呢？同学们每天从早上到中午又到晚上，我们都会明显感觉到气温在不断发生变化，其实，生活中处处有数学，这其中就蕴含了丰富的数学知识——函数的单调性。什么是函数的单调性呢？我们先从气温图中来体会一下来看上节课的作业：3个函数图像此问题比较简单，多数同学都能回答上来：我能看出从4点到7点，7点到14点温度是升高的；从0点到4点，14点到24点温度是下降的。(学生举手回答，提问2个)思考并回顾上节课留的作业题目。以实际生活为例让学生感受到生活中处处蕴含着数学，激发学生的学习热情，学以致用。引出下个引例单调性表述的范围引例2：xy2,xy2上升,xy2是y随着x的增大而增大。xy2,xy2下降,xy2是y随着x的增大而减小。问题（1）：观察图像：你能说出这三个函数图像的变化趋势吗？问题（2）：观察变量：x自左向右增大y值如何变化？观察回答：积极思考（小组讨论后，派代表抢答。此问题不难，同学们积极性会比较高，抢答同学也会如雨后春笋……提问2个同学）同桌讨论后（自由回答，相对来说这个问题更简单，先起立的同学回答。提问1个同学）以学生较熟悉的函数图像入手会让同学联系旧知，熟悉感也倍增学习新知浓烈。课件演示同学观察回答变化趋势，生动形象。层层设问逐步引导合作探究得出初论3教学流程教学内容教师活动学生活动教学意图从图像和变量两个角度说明单调性的特征2xy0,2xy下降,02xy上升0,2xy是y随着x的增大而减小。0,2xy是y随着x的增大而增大。我们通常定义具有以上这些特点的函数为增函数或是减函数。由此可以发现我们所说的函数的单调性就是函数的增减性。我们可以看出要更清楚的表述函数的单调性必须在一个区间范围内，单调性具有局部性。谁能尝试用这两种方法给出通常定义？而不管从图像上还是从变量上一般都要借助于图像来观察。为了检查一下听讲情况举手回答（提问2-3个）通过表格下通俗定义：学生小组合作讨论，培养血色很给你的合作精神和语言的表达能力。提出局限性，激发学生思考其他方法。(二)课程新授从气温变化图上截取了xfy图像进一步研究增减函数的性质：①任取11,xfxA22,xfxBx的增量x12xx同理y的増量当不给图像的时候我们怎么判断函数的单调性呢？用增减函数的概念就可以解决了。学生跟着老师的思路思考增函数的定义的推导为减函数定义的推导作铺垫。提出高难度的问题让给学生感到富有挑战，集中听讲。引出函数单调性的另外的特点。学生跟着老师的思路走。4教学流程教学内容教师活动学生活动教学意图分析增减函数的性质增减函数的定义12xfxfy②xy0③函数xfy在该区间为增函数。一般地，对于函数xfy在给定的区间上任意两个不相等的值1x，2x，当xy0时，函数xfy在这个区间上是增函数；当xy0时，函数xfy在这个区间上是减函数；这个区间就是函数的单调区间。你能仿照增函数分析减函数吗？注意比值是什么比什么！教师引导根据分析你能否总结出增减函数的概念呢？函数在某点处无单调性可言，我们用开区间就可以。（讨论，找1个同学分析）生分析减函数概念。①任取11,xfxA，22,xfxB12xxx12xfxfy②xy0③xfy在该区间为减函数。思考如何下定义。（自愿回答，2个同学分别回答增函数和减函数的定义）识记理解定义，并检查效果。硬性定义的提问一般都会有很多同学的踊跃参与，起立的同学以组为单位或是教师找代表进行检查（n个同学）再加上刚才对解析式的分析，此时再让学生给增减函数下定义应该是水到渠成。接着引导学生给出用定义判断函数增减性的步骤也是游刃有余。这是本节课的重点与难点，培养学生的团结合作精神和概括能力。学生学会用数形结合法分析问题体现数学上的转化思想例题例1：定义域是10,10，根据图像指出函数的单调区间，及每个区间上的单调性。例题讲解师生一起做例题。单调增区间1,4，8,2函数为增函数单调减区间4,10，2,1，10,8函数为减函数通过例题的讲解，学生了解单调区间与单调性的联系5教学流程教学内容教师活动学生活动教学意图跟进练习练习：函数xfy的通过刚才的探究你能找出气温图中的单调区间吗？引导学生独立完成（提问1个同学）单调增区间14,4单调减区间4,0，24,14进一步熟练了区间与单调性的联系，锻炼了学生的观察能力应用例题讲解例2：证明函数12xxf在区间,上是增函数。证明：①设1x，2x是,任意两个不相等的实数。12xxx，12xfxfy=121212xx=122xx=x2②022xxxyk③12xxf在,上是增函数。脱离图像我们就最好用什么方法来判断函数的单调性？教师根据定义一步一步进行分析集体回答：定义法认真听讲思考定义法判断函数单调性的一般步骤通过例题的讲解解决如下问题：1、定义域上任取两个不相等的值。2、作差后的变形常常综合运用到不等式、配方等方法及时复习。3、判断符号和增减性要对应好不要弄混淆4、下论时一定带上范围判断函数增减性的步骤①取点作差②算比值xyk③判断当0k函数在某区间为增函数；0k函数在某区间为减函数。从刚才我们的分析可以看出由定义法即由解析式判断函数单调性——增减性的步骤：（小组讨论）讨论得出步骤，互相补充得出最后的步骤（3个同学）同学们看课本理解本节所学内容，理清思路。巩固所学6教学流程教学内容教师活动学生活动教学意图练习跟进引申思考课堂检测练习：判断函数12xxf在区间,上是增函数还是减函数？思考:由上述例2和练习讨论一次函数bkxy的单调性.判断函数35xxf在,上的单调性。巡视观察了解问题找同学上黑板批阅后教师订正答案。下面的同学同桌换过来批阅。黑板练习（2个同学）解①在,上任取两个不等的值1x，2x12xxx，12xfxfy)12(1212xx121212xx)(212xxx2②xxxy220③函数12xxf在区间,上是减函数通过练习体会定义法判断函数的单调性小结一次函数的单调性，复习巩固初中知识.争取当堂的类型题当堂消化同桌换着批阅(三)课堂小结①图像法②变量值法③定义法区间内，图像上升为增函数；区间内，图像下降为减函数y随着x的增大而增大是增函数；y随着x的增大而减小是减函数取点作差，算比值，判断注意①函数的单调性也叫增减性②函数的单调是对定义域内的某个区间而言同学们回顾一下本节课你都学到了什么收获到了什么。本节课我们学习了判断函数的3种方法谈收获根据表格谈谈自己本节课所学习到的内容（同学们以自愿的形式谈收获，多个同学进行补充直至完整。）教师出示完整表格形式。用表格形式总结，本节课的重点知识一目了然，体现一一对应的关系，并标明了注意事项，对易出错的问题进行了重点强调。7教学流程教学内容教师活动学生活动教学意图(四)布置作业1、课后P542、（1）（2），2、课后P543（有能力的同学并结合2(2)思考能否说xxf1的增区间为0,,0）？布置作业分层次进行巩固练习（学生有选择性的练习有能力的同学全做。）打铁要趁热，及时巩固，作业分层次满足各个层次的需求让优生有事做，潜能生吃得饱。(五)板书设计3.3函数的单调性1、增量：（可正可负不为零）12xxx12xfxfy2、定义：一般的，对于函数xfy在给定区间上任意两个不相等的值1x，2x，当xy0时，我们就说函数在这个区间上为增函数，当xy0时，我们就说函数在这个区间上为减函数。教师边授新课边板书根据板书了解本节的重点结合板书对本节课的重点一目了然