空间图形基本关系的认识及公理123

§4空间图形的基本关系与公理4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理(公理1、2、3)问题引航1.空间中点、线、面的位置关系有哪些？该怎样表示？2.空间图形的公理1，公理2，公理3的内容是什么？各有什么作用？1.空间中点、线、面的位置关系(1)点与直线的位置关系①点A在直线l上：____.②点B不在直线l上：___.(2)点与平面的位置关系①点A在平面α内：______.②点B不在平面α内：_____.A∈lB∉lA∈αB∉α2.空间图形的公理(1)公理1①文字语言：条件：过_______________的三点.结论：_________一个平面(即可以确定一个平面).②符号语言：若A，B，C三点不共线，则_________一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α.不在一条直线上有且只有有且只有③推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面(图(1)).推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面(图(2)).推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面(图(3)).(2)公理2①文字语言：条件：一条直线上的_____在一个平面内.结论：该直线上_________都在这个平面内(即直线_________).②符号语言：若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，则_____.两点所有的点在平面内lα(3)公理3①文字语言：条件：两个不重合的平面_____________.结论：两个平面_________一条通过该点的公共直线.②符号语言：若A∈α，A∈β，且α与β不重合，则α∩β=l且A∈l.有一个公共点有且只有1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两两相交的三条直线确定一个平面.()(2)经过一条直线和一个点确定一个平面.()(3)如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点.()【解析】(1)错误.两两相交的三条直线交于一点，可能确定三个平面，故错误.(2)错误.若点在直线上，则无法确定一个平面.(3)错误.平面α与平面β相交有无数个公共点.答案：(1)×(2)×(3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)点M在直线l上，用符号可表示为________.(2)直线m在平面β内，用符号可表示为________.(3)若平面α与平面β相交且交线为l，用符号可表示为________.【解析】(1)点M在直线l上，则用符号可表示为M∈l.答案：M∈l(2)直线m在平面β内，用符号可表示为mβ.答案：mβ(3)平面α与平面β相交，且交线为l，可记为α∩β=l.答案：α∩β=l【要点探究】知识点1空间中点、直线、平面之间的关系1.相交平面的画法(1)画两条相交的直线，表示两个平面的平行四边形相交的两条边，如图①中的EF，MN.(2)画两个相交平面的交线，如图②中的AB.(3)通过端点E，F，M，N分别画出与AB平行且相等的线段EC，FD，MP，NQ，连接CD和PQ，可以得到表示平面的平行四边形EFDC和MNQP，如图③.(4)把被平面遮住的部分画成虚线(或者不画)，如图④.2.点、直线、平面之间关系的表示(1)基本原则：通常借助集合中的符号语言来表示.点为元素，直线与平面都是点构成的集合，几何中的很多符号规定都是源于将图形视为点集.(2)表示方法：点与直线之间的关系，点与平面之间的关系用符号∈，∉表示，直线与平面之间的关系用，表示.(3)注意事项：注意个别地方的用法与集合符号略有不同.例如，直线a与平面α相交于点A，记作a∩α=A，而不记作a∩α={A}.这里的A既是一个点，又可以理解为只含一个元素(点)的集合.【知识拓展】对点、直线、平面位置关系的符号语言的理解与应用(1)点、直线、平面的表示：一般来说，用大写字母(A，B，C，…)表示空间中的点，用小写字母(a，b，c，…)表示直线，用希腊字母(α，β，γ，…)表示平面.(2)点、线、面间的关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线与平面都是点构成的集合，几何中的很多符号规定都是源于将图形视为点集.点与直线之间的关系用符号∈，∉表示，直线与平面之间的关系用，表示，要注意体会，并区别记忆.【微思考】点P既在直线AB上，又在平面α内，则直线AB一定也在平面α内吗？提示：不一定，若直线AB与平面α相交，交点为P点，则直线AB不在平面α内.【即时练】1.若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的关系可记为________.2.根据图中的几何图形填入相应的符号：A______平面ABC，A______平面BCD，BD______平面ABC，平面ABC∩平面ACD=________.【解析】1.点M在直线a上可表示为M∈a，a在平面α内，可表示为aα，所以M，a，α间的关系可记为M∈aα.答案：M∈aα2.点A∈平面ABC，A∉平面BCD，BD平面ABC，平面ABC∩平面ACD=AC.答案：∈∉AC知识点2空间图形的三个公理(公理1，公理2，公理3)1.三个公理的意义和作用(1)公理1是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法.(2)公理2说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内的方法，又是检验平面的方法.(3)公理3揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法.可从以下三个方面解释：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么两平面的交点必在这两个平面的交线上.2.对公理1的两点说明(1)“不在同一条直线上的三点”的含义①经过一点，两点和在同一条直线上的三点可能有无数个平面；②任意给定不在同一条直线上的四个点，不一定有一个平面同时过这四个点.(2)“有且只有一个”的含义这里“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，公理1强调的是存在和唯一两个方面.【微思考】(1)四边形一定能确定一个平面吗？提示：不一定，如空间四边形不能确定平面.(2)两个平面有三个公共点，这两个平面重合吗？提示：不一定，当三点在同一直线上时，不能判定两个平面重合；当三点不在同一条直线上时，根据不共线的三点确定一个平面可知两平面重合.【即时练】(2014·南昌高一检测)下列说法：①空间不同的三点可以确定一个平面；②如果线段AB在平面α内，那么直线AB一定在平面α内；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形.其中错误的说法是________(填序号).【解析】①错误.若三点在同一直线上，则不能确定一个平面.②正确.由公理2可知，若一条直线上的两点在一个平面内，那么该直线上的所有点都在这个平面内，即该直线在此平面内.③空间四边形的两组对边也可相等，故③错.答案：①③【题型示范】类型一点、线共面问题【典例1】(1)若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则()A.AB∩α=CB.ABαC.C∈αD.C∉α(2)已知如图，直线a∥b，直线l∩a=A，直线l∩b=B，求证：直线a，b，l共面.【解题探究】1.题(1)中A∈平面α，B∈平面α，说明什么问题？2.题(2)中，由a∥b可得到什么结论？怎样才能说明a，b，l共面？【探究提示】1.A∈平面α，B∈平面α，说明AB平面α.2.由a∥b可以确定一个平面，然后说明l也在a，b确定的平面中.【自主解答】(1)选C.因为A∈平面α，B∈平面α，所以AB平面α，又C∈直线AB，所以C∈α.(2)因为a∥b，由平行线的定义知，a，b共面，设a，b所在的平面为α，因为a∩l=A，所以点A在平面α内，即A∈α.同理可得B∈α.由公理2知AB在平面α内，即l在平面α内，所以a，b，l共面.【延伸探究】若将题(2)改为“若三条直线两两相交且不交于一点，则这三条直线共面”试证明.【解题指南】利用公理1和2证明.【解析】已知，如图，设a∩b=C，b∩c=B，a∩c=A，求证：a，b，c共面.证明：因为三条直线两两相交且不交于一点，所以A，B，C三点不共线(否则与已知矛盾)，所以可设A，B，C三点确定一个平面α，因为A∈α，B∈α.所以ABα，即cα同理bα，cα，所以a，b，c共面.【方法技巧】1.确定平面的方法和意义(1)确定平面的方法①不共线的三点，可以确定一个平面(即公理1)；②直线和直线外一点，可以确定一个平面；③两条相交直线，可以确定一个平面；④两条平行直线，可以确定一个平面.(2)确定平面的意义实现空间问题向平面问题的转化.2.解决点线共面问题的基本方法【变式训练】空间中，下列说法：①圆心和圆上两点可以确定一个平面；②四条平行线不能确定五个平面；③不共线的五点，可以确定五个平面，必有三点共线.不正确的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选A.①若圆上两点为圆直径的两个端点，则圆心和圆上两点不能确定一个平面，①不正确；四条平行线只能确定一个，四个或六个平面，②正确，③显然正确，故选A.【补偿训练】已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a，b，c，d共面.【证明】(1)无三线共点情况，如图①.设a∩d=M，b∩d=N，c∩d=P，a∩b=Q，a∩c=R，b∩c=S.因为a∩d=M，所以a，d可确定一个平面α.因为N∈d，Q∈a，所以N∈α，Q∈α，所以NQα，即bα.同理cα，所以a，b，c，d共面.(2)有三线共点的情况，如图②.设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M，且K∉a.因为K∉a，所以K和a确定一个平面，设为β.因为N∈a，aβ，所以N∈β，所以NKβ，即bβ.同理cβ，dβ，所以a，b，c，d共面.由(1)(2)知a，b，c，d共面.类型二线共点、点共线问题【典例2】(1)(2014·吉安高一检测)若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________.(2)已知四面体A-BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且求证：直线EG，FH，AC相交于同一点.BGDH2GCHC，【解题探究】1.题(1)中AC∥BD的作用是什么？O点是直线l与平面α的交点，有何特点？2.题(2)中四边形EFHG有何特点？怎样说明EG，FH，AC相交于同一点？【探究提示】1.由AC∥BD可以确定A，B，C，D共面，O为两个平面的交点且在两平面的交线上.2.四边形EFHG为梯形且EF∥GH，可先说明EG与FH相交于一点，然后说明AC也经过该点.【自主解答】(1)由题意得如图，因为AC∥BD，所以AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β=直线CD，因为l∩α=O，所以O∈α，又因为O∈AB，ABβ，所以O∈β.所以O∈直线CD，即O，C，D共线.答案：共线(2)因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD且EF=BD.又因为所以GH∥BD且GH=BD，所以EF∥GH且EFGH，所以四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必相交，设两腰EG，FH的延长线相交于一点P，因为EG平面ABC，FH平面ACD，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD，又因为平面ABC∩平面ACD=AC，所以P∈AC，故直线EG，FH，AC相交于同一点.BGDH2GCHC，1312【方法技巧】1.证明三点共线的方法(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知，这些点都在两个平面的交线上.(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上.2.证明三线共点的步骤(1)首先说明两条直线共面且交于一点.(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交.(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点.【变式训练】已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α=P，BC∩α=Q，AC∩α=R，如图所示.求证：P，Q，R三点共线.【证明】方法一：因为AB∩α=P，所以