空间曲线预应力筋长度及伸长量计算公式推导和工程应用

1空间曲线预应力筋长度及伸长量公式推导和应用林莉【摘要】：本文通过对空间曲线预应力筋伸长量理论的探讨及计算公式的推导，得到一个能够用Excel编程，进行批量计算的公式，不仅解决了施工误差控制问题，还能为图纸复核带来操作上的便利，具有一定的推广价值。【关键词】：预应力筋伸长量公式推导应用SpatialcurvedprestressingtendonlengthandelongationofformuladerivationandApplicationLinli（KunshanTestingCenterforQualityofConstructionEngineering,suzhou215337,China）[Abstract]:Basedonthespatialcurvedprestressingtendonelongationtheoryandformula,togainaprogrammingwithExcel,batchformula,notonlysolvedtheconstructionerrorcontrolproblem,canprovidedrawingsreviewbringsconvenienceintheoperation,hasacertainpromotionvalue.[Keywords]:tendon；elongation；formula；application1、前言在一般的教材及现有的规范里，预应力钢筋混凝土梁的预应力筋，在设计时大多数情况下都按平面曲线进行布设。但是随着施工技术的进步及专业理论的提高，一些预应力钢筋混凝土梁的预应力筋设计也按空间曲线的状态进行布设。另外，现今各种桥梁结构的设计软件比如Ansys、Midas、桥博等，只能在具体某一束预应力筋的所有参数输入以后，才能得出此筋的伸长量。工作量比较大。而且对施工单位而言，在进行图纸复核的时候不便于操作。所以有必要对空间曲线预应力筋的伸长量的理论及计算公式进行探讨，以便使用Excel进行编程，大批量计算，达到提高预应力筋张拉的施工质量，加快施工进度，减少图纸复核工作量的作用。2、公式推导2.1、推导理论由上可知在进行空间曲线预应力筋设计时，一般仅给出在平面上投影的曲线参数和在立面上投影的曲线参数。根据空间解析几何的投影理论可得到空间曲线的解析式与投影面上平面曲线解析式的关系。如公式（1）、（2）、（3）所示，公式（1）是空间曲线的解析式，公式（2）、（3）分别是空间曲线在平面、立面上的投影曲线解析式。反过来，我们可以从两个投影面上的解析式推导出空间曲线的解析式。（1）、空间曲线解析式为：0),,(0),,(zyxGzyxF…………………………………………………………………(1)（2）、曲线（1）在平面上的投影曲线解析式为：00),(zyxH…………………………………………………………………(2)（3）、曲线（1）在立面上的投影曲线解析式为：00),(yzxV…………………………………………………………………(3)（4）、已知空间曲线的弧长公式为：2222dzdydxL………………………………………………………(4)将公式（4）进行积分可得：dxdxdzdxdyLiixx122)()(1…………………………………………………(5)即只要在曲线区间（xi，xi+1）将公式（2）、（3）对x求导，代入公式（5），然后再积分，就可以得到L值。（5）、夹角计算公式为：22vh……………………………………………………………(6)式中：rad和，管道部分切线的夹角之张拉端至计算截面曲线角，也即平面曲线部分曲线起、讫点切线的夹空间曲线在平面上投影hrad和，管道部分切线的夹角之张拉端至计算截面曲线角，也即立面曲线部分曲线起、讫点切线的夹空间曲线在立面上投影v（6）、按照“桥规”，预应力筋的伸长量计算式为：gyEALPL……………………………………………………………………(7)kxePPkxk)(1……………………………………………………………(8)式中：；伸长量，管道局部偏差后的钢束钢束与管道磨阻损失及mL曲线段的平均张拉力，PN；预应力钢束截面面积yA，mm²；预应力钢束弹性模量gE，Mpa；预应力钢束曲线段长度L，m；曲线段起点的张拉力kP，N；摩擦系数预应力钢束与管道壁的；摩擦的影响系数管道每延米局部偏差对k；道的长度从张拉端至计算截面管x，m；3和管道部分切线的夹角之张拉端至计算截面曲线，rad；2.2、公式推导根据空间曲线在平面、立面上的投影情况进行分析发现，可将空间曲线分成如下几段：（1）、当空间曲线在平面上的投影为直线，立面上的投影也为直线的时候，此时空间曲线一定是直线；（2）、当空间曲线在平面上的投影为直线，立面上的投影为曲线时，空间曲线一定为曲线，反之亦然；（3）、当空间曲线在平面、立面上的投影都为曲线时，空间曲线一定为一个复杂的曲线。所以可以按照上述分段将空间曲线分为三种情况，分别对每种情况按照公式（5）进行积分，得出L的具体值，最后分别代入公式（7）；根据公式（6）得出θ值并代入公式（8）。最终得到每区段的伸长量L，相加可得出整束预应力筋的伸长量。比如某桥的主梁腹板预应力筋的布置在平面和立面上的投影都为多线段曲线，设计图纸中也仅给出此两个平面上的参数，如图（1）所示。根据图（1）可推算出平面、立面上投影曲线的解析式分别为：3232)(yrxxryhh…………………………………………………(9)3242)(yrxxrzvv………………………………………………(10)根据上述三种分段情况将此空间曲线预应力筋分成如下几段，分别予以推导可得：（1）、当),0(1xx时：2121211zyxL………………………………………………………(11)01……………………………………………………………………(12)（2）、当),(21xxx时：dxxxrxxxxzzLxx21232h23212122)()()(1…………………………………(13)2312312322322)()(xxrxxarctanxxrxxarctanhhh……………(14)（3）、当),(32xxx时：dxxxrxxxxrxxLxx32242v24232h233)()()()(1……………………………(15)22422422432432322322223))()(()(xxrxxarctanxxrxxarctanxxrxxarctanvvhvh……………………………………………………………………………………(16)4（4）、当),(43xxx时：dxxxrxxLxx43242v244)()(1………………………………………………(17)2432434)(xxrxxarctanvv…………………………………………(18)（5）、当),(54xxx时：455xxL…………………………………………………………………(19)05………………………………………………………………………(20)上述（13）、（15）、（17）等公式是比较复杂的数值积分，可以用牛顿-科茨公式进行求解：bankbannknkdxxnfxfCabdxxf01)1()()()!1()()()()(……………(21)式中：nnkjjknnkdtjtknknC00)()()!(!)1(，（k=0,1,2,3……n）……………………(22)nabh……………………………………………………………………(23)bhaxk,（k=0,1,2,3……n）…………………………………………(24)图（1）、空间曲线预应力筋平面、立面投影图立面投影图平面投影图5a、b为上述空间曲线分段区间的上下值，分别为xi，xi+1。n为等分为几段区间的区间数，一般分为7-20个区间段时，精度已经能够满足要求。当n=7时，可得到如下简单的计算公式：)25..(......................................................................).........(5184008183)751357713232989298913233577751(172807)()8(976543210fhffffffffhdxxfba实际计算中可以不使用更高阶的牛顿-科茨公式，即可忽略最后一项)(5184008183)8(9fh。3、工程应用假设图（1）中各项参数如下列各表所示，通过Excel编程，可轻松地计算出该束预应力筋的伸长量，与Midas计算出来的相比，仅差1%，施工时得到的伸长量为11.3cm，误差为4.6%。都符合规范要求。表格1空间曲线预应力筋长度及伸长量计算程序钢束编号分段编号i平弯参数竖弯参数xi(m)yi(m)rih(m)θih(rad)xi(m)zi(m)rivθiv(rad)t1a11.7910.5510.0000.0001.7911.5030.0000.00022.7360.81312.0000.0812.7362.2960.0000.00035.2581.08212.0000.2125.2583.5506.0000.47446.5931.0820.0000.0006.5933.7006.0000.22457.0001.0820.0000.0007.0003.7000.0000.000表格2（接上表）空间长度空间角度工作长度总长kxekx)(1Δs(m)ΔL(m)Ls(m)θs(rad)L'∑L2.4020.0000.80018.1440.9990.0170.1081.2580.0810.9920.0092.8590.5190.9550.0161.3460.2240.9800.0080.4070.0001.0000.003分段区间内的数值积分可以按照下表进行编程：表格3空间曲线预应力筋区段长度计算程序（第2段）iknhxkfk2070.1351.7911.3406xi-1zi-1170.1351.9261.3371.7911.503270.1352.0611.334xizi370.1352.1961.3322.7362.296470.1352.3311.329xi+1rh570.1352.4661.3275.25812.000670.1352.6011.325Ls1.258770.1352.7361.323表格4空间曲线预应力筋区段长度计算程序（第3段）irvknhxkfk36.000070.3602.7361.323xi-1zi-1170.3603.0961.2442.7362.296270.3603.4571.183xizi370.3603.8171.1345.2583.550470.3604.1771.096xi+1rh570.3604.5371.0666.59312.000670.3604.8981.043Ls2.859770.3605.2581.026表格5空间曲线预应力筋区段长度计算程序（第4段）iknhxkfk4070.1915.2581.026xi-1zi-1170.1915.4491.0195.2583.550270.1915.6391.013xizi370.1915.8301.0086.5933.700470.1916.0211.005xi+1rv570.1916.2121.0027.0006.000670.1916.4021.001Ls1.346770.1916.5931.0004、总结综上所述，空间曲线预应力筋的伸长量计算，其关键之处在于空间曲线弧长的计算，但