复高斯分布

复高斯分布1.一维复高斯随机变量如果实随机变量X和Y都服从高斯分布，而且是不相关的（这时也是独立的），均值分别为mx和my，方差都为σ2，则其联合概率密度函数（probabilitydensityfunction，pdf）为：22XY221,exp22xyxmympxy(1)对应的复随机变量Z=X+iY则称为复高斯随机变量。Z的均值mz和方差2z分别为：mzxyEZEXiYEXiEYmim(2)2*2zz222Z-m2zxyxyEZmEXmiYmEXmEYm(3)特殊的，当均值mx和my均为0时，复随机变量Z称为（零均值）循环对称复高斯(ZeroMeanCircularSymmetricComplexGaussian,ZMCSCG)随机变量1图1二维高斯分布当实部虚部随机变量都是不相关的高斯RV，且具有相同方差，则复高斯随机变量Z=X+iY的概率密度函数为：。σ2称为Z的每个实数维上的方差(varianceperrealdimension)。222222zz1exp221expzzzzmpzzm＝(4)1其实这里没有必要强调零均值，因为由后面循环对称的定义，Z一定是零均值的。可以看出，当用实部＋i虚部的方式来表示复数后，(4)式和(1)式其实是等同的。但是更加紧凑（更像一个“一维”的随机变量的概率密度函数）。但是在计算期望进行积分的时候，还是要对实部虚部来进行积分（利用(1)式）。这也适用于多维复随机变量的情况。2.复高斯随机矢量首先补充一下循环对称(CircularSymmetric，或CS)的含义([2],sec2.6-1)：如果复随机矢量Z满足：以任意角度旋转后，所获得的新矢量跟原矢量有相同的概率密度函数，则称复随机矢量Z为循环对称的。即,ejZ和Z的概率密度函数相同。显然，由此定义可以推出：E[Z]=0,E[ZZt]=0(5)当Z为高斯随机矢量时，循环对称条件跟(5)等价。特别的，且当Z为一维时，E[Z2]=0。故，对于d维的复高斯随机矢量Z=X+iY(粗体表示列矢量)，当其满足,XYXYYXC=CC=C(6)时([2]称这样的Z是proper的,即满足E[(Z-mZ)(Z-mZ)t)]=0)，新随机矢量Z-mZ是循环对称（对于复随机矢量，零均值＋proper条件即对应循环对称）的，变量代换后的概率密度函数为112HdpexpzzzmΣzmzΣ(7)其中,mz=E[z]是随机矢量z的均值,Σ=E[(z-mz)(z-mz)H]是互协方差矩阵（假设非奇异）,|Σ|是Σ的行列式，zH表示z的共轭转置.如果这个复高斯随机矢量Z不是proper的，则其概率密度函数不能这样表示，而应以对应的2d维实随机矢量的联合分布来表示：11p()()exp22tdpzzzzzzzmCzmC－(8)其中12d12,,...,,,,...,tdXXXYYYZ(9)且Ezmz＝。幸运的是，在大多数应用环境下，我们都可以假设复随机矢量Z－mz为循环对称的，甚至可以假设Z本身就是循环对称的。当对复高斯随机变量取模时，可以得到另两种特殊的分布：瑞利分布(Rayleighdistribution)和莱斯分布（Ricedistribution）。设有复高斯随机变量z=x+iy，令a=|E[z]|，σ2=E[|z|2]，则r=|z|的pdf可以通过坐标变换：x=rcosθ,y=rsinθ,并求边缘分布来获得。·当a=0时，r的pdf为瑞利分布：222,02rrprexpr(10)·当a0时，r的pdf为莱斯分布：202222,02Irrprexpraar(11)其中I0(.)表示零阶一类修正贝塞尔函数，定义为2001Iexpcos2xxd(12)莱斯分布常用K因子（莱斯因子）来描述，K=a2/2σ2。在多径无线通信环境中，它描述了直射径（主径）的功率跟散射径功率之比。K＝0时，r为瑞利分布。K非常大时，r接近高斯分布。在无线信道中，莱斯分布是一种最常见的用于描述接收信号包络统计时变特性的分布类型。莱斯因子是反映信道质量的重要参数，在计算信道质量和链路预算、移动台移动速度以及测向性能分析等都发挥着重要的作用。信号在传输过程中由于多径效应，接收信号是直视信号（主径信号）和多径信号的叠加，此时接收信号的包络服从莱斯分布。图2莱斯分布的概率密度函数复高斯分布在工程上有很广泛的应用。例如，在通信理论中，高斯白噪声进入接收机后，经过低通滤波处理变成窄带高斯噪声，叠加在解调的信号之上，形成一个复高斯随机变量（正交调制）。注：本文在[1]的基础之上进行翻译、并参考了[2]和[3]对[1]中的描述进行了修改、补充，最终完成。图片均来自网络。REFERENCES[1]complexGaussiandistribution,[2]J.Proakis,M.Salehi,DigitalCommunications,5th,McGraw-HillCompany,NewYork:2008[3]莱斯分布，百度百科.=tGSIqleByObem0cjEDAlMzb7Ac_St3L4dS9-b8OgRbzISsiG6WY6LnaUyzr5iCiK