直线方程(直线方程完美总结-归纳)

1直线方程一、倾斜角与斜率1.直线的倾斜角①倾斜角：与x轴正方向的夹角②直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为③倾斜角的范围2.直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值.记作tank0(90)②当直线l与x轴平行或重合时,00,0tan00k③当直线l与x轴垂直时,090,k不存在.④经过两点1112212(,),(,)PxyPxyxx（）的直线的斜率公式是2121yykxx⑤每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.3.求斜率的一般方法：①已知直线上两点，根据斜率公式212121()yykxxxx求斜率；②已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据tank来求斜率；4.利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,)AxyBxyCxy，若123ABBCxxxkk或，则有A、B、C三点共线。考点一斜率与倾斜角例1.已知直线l的斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为（）.A.60°B.30°C.60°或120°D.30°或150°000001802例2.已知过两点22(2,3)Amm,2(3,2)Bmmm的直线l的倾斜角为45°，求实数m的值.考点二三点共线例1.已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．考点三斜率范围例1.已知两点A(-2,-3),B(3,0),过点P(-1,2)的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.例2.已知实数x、y满足28,xy当2≤x≤3时，求yx的最大值与最小值。3二、直线方程名称方程的形式已知条件局限性①点斜式11()yykxx11(,)xy为直线上一定点，k为斜率不包括垂直于x轴的直线②斜截式ykxbk为斜率，b是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线③两点式不包括垂直于x轴和y轴的直线④截距式是直线在轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线⑤一般式0AxByC22(0)AB,,ABC为系数无限制，可表示任何位置的直线三、直线的位置关系1.两条直线平行：对于两条不重合的直线，其斜率分别为，则有2121//kkll特别地，当直线的斜率都不存在时，的关系为平行2.两条直线垂直：如果两条直线斜率存在，设为，则有1-2121kkll112121yyxxyyxx11221212(,),(,)xyxyxxyy经过两点且(,)1xyabax12,ll12,kk12,ll12ll与12,ll12,kk4考点四直线的位置关系例1.已知直线1:60lxmy，2:(2)320lmxym，求m的值，使得：（1）l1和l2相交；（2）l1⊥l2；（3）l1//l2；（4）l1和l2重合.例2.已知直线1l的方程为223,yxl的方程为42yx，直线l与1l平行且与2l在y轴上的截距相同，求直线l的方程。例3.ABC的顶点(5,1),(1,1),(2,)ABCm，若ABC为直角三角形，求m的值.例4.已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数2logyx的图象交于C、D两点.（1）证明：点C、D和原点O在同一直线上.（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.5考点五定点问题例1.已知直线31ykxk.（1）求直线恒经过的定点；（2）当33x时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围.考点六周长及面积例1.已知直线l过点(2,3)，且与两坐标轴构成面积为4的三角形，求直线l的方程．考点七反射例1.光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.6四、1.121122,(,),(,)PPxyxy若点的坐标分别是，1212122(,)2xxxPPMxyyyy且线段的中点的坐标为2.两条直线的交点设两条直线的方程是1111:0lAxByC,2222:0lAxByC两条直线的交点坐标就是方程组11122200AxByCAxByC的解。①若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；②若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.3.两点间的距离：平面上的两点111222(,),(,)PxyPxy间的距离公式22122121||()()PPxxyy4.点到直线的距离：点00(,)oPxy到直线0AxByC的距离0022||AxByCdAB5.两条平行线间的距离：两条平行线1200AxByCAxByC与间的距离1222||CCdAB考点八点到直线距离例1.已知点(,2)(0)aa到直线:30lxy的距离为1，则a=（）.A．2B．－2C．21D．21例2.求过直线1110:33lyx和2:30lxy的交点并且与原点相距为1的直线l的方程.7考点九平行线的距离例1.若两平行直线3210xy和60xayc之间的距离为21313，求2ca的值.考点十对称问题例1.①与直线2360xy关于点（1，-1）对称的直线方程②求点A（2，2）关于直线2490xy的对称点坐标例2.在函数24yx的图象上求一点P，使P到直线45yx的距离最短，并求这个最短的距离.8例3.在直线:310lxy上求一点P，使得：（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大。（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小。