2013年陕西高考理科数学试题及答案详解

2013陕西理科数学第1页2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）(陕西卷)第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．(2013陕西，理1)设全集为R，函数f(x)＝21x的定义域为M，则RM为()．A．[－1,1]B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)1)∪(1，＋∞)．2．(2013陕西，理2)根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为()．A．25B．30C．31D．613．(2013陕西，理3)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．(2013陕西，理4)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为()．A．11B．12C．13D．145．(2013陕西，理5)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是()．A．π14B．π12C．π22D．π46．(2013陕西，理6)设z1，z2是复数，则下列命题中的假．命题是()．A．若|z1－z2|＝0，则12zzB．若12zz，则12zzC．若|z1|＝|z2|，则1122zzzzD．若|z1|＝|z2|，则z12＝z227．(2013陕西，理7)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定8．(2013陕西，理8)设函数f(x)＝610,0,xxxxx,,则当x＞0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为A．－20B．20C．－15D．159．(2013陕西，理9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()．2013陕西理科数学第2页A．[15,20]B．[12,25]C．[10,30]D．[20,30]10．(2013陕西，理10)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有()．A．[－x]＝－[x]B．[2x]＝2[x]C．[x＋y]≤[x]＋[y]D．[x－y]≤[x]－[y]第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．(2013陕西，理11)双曲线22116xym的离心率为54，则m等于__________．12．(2013陕西，理12)某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．13．(2013陕西，理13)若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为__________．14．(2013陕西，理14)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为__________．15．(2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A．(不等式选做题)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为__________．B．(几何证明选做题)如图，弦AB与CD相交于O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝__________.C．(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为__________．2013陕西理科数学第3页三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．(2013陕西，理16)(本小题满分12分)已知向量a＝1cos,2x，b＝(3sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在π0,2上的最大值和最小值．17．(2013陕西，理17)(本小题满分12分)设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．2013陕西理科数学第4页18．(2013陕西，理18)(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝2.(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．2013陕西理科数学第5页19．(2013陕西，理19)(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．2013陕西理科数学第6页20．(2013陕西，理20)(本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．2013陕西理科数学第7页21．(2013陕西，理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ex，x∈R.(1)若直线y＝kx＋1与f(x)的反函数的图像相切，求实数k的值；(2)设x＞0，讨论曲线y＝f(x)与曲线y＝mx2(m＞0)公共点的个数；(3)设a＜b，比较2fafb与fbfaba的大小，并说明理由．2013陕西理科数学第8页2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学（理科）(陕西卷)第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．答案：D解析：要使函数f(x)＝21x有意义，则1－x2≥0，解得－1≤x≤1，则M＝[－1,1]，RM＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2．答案：C解析：由算法语句可知0.5,50,250.650,50,xxyxx所以当x＝60时，y＝25＋0.6×(60－50)＝25＋6＝31.3．答案：C解析：若a与b中有一个为零向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件；若a与b都不为零向量，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ，由|a·b|＝|a||b|得|cosθ|＝1，则两向量的夹角为0或π，所以a∥b.若a∥b，则a与b同向或反向，故两向量的夹角为0或π，则|cosθ|＝1，所以|a·b|＝|a||b|，故“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件．4．答案：B解析：840÷42＝20，把1,2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l，则第k段抽取的号码为l＋(k－1)·20,1≤l≤20,1≤k≤42.令481≤l＋(k－1)·20≤720，得25＋120l≤k≤37－20l.由1≤l≤20，则25≤k≤36.满足条件的k共有12个．5．答案：A解析：S矩形ABCD＝1×2＝2，S扇形ADE＝S扇形CBF＝π4.由几何概型可知该地点无信号的概率为P＝π2π2124FABCDADECBABCDSSSS矩形扇形扇形矩形.6．答案：D解析：对于选项A，若|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故12zz，正确；对于选项B，若12zz，则122zzz，正确；对于选项C，z1·1z＝|z1|2，z2·z2＝|z2|2，若|z1|＝|z2|，则1122zzzz，正确；对于选项D，如令z1＝i＋1，z2＝1－i，满足|z1|＝|z2|，而z12＝2i，z22＝－2i，故不正确．7．答案：B解析：∵bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A．又sinA＞0，∴sinA＝1，∴π2A，故△ABC为直角三角形．8．答案：A解析：当x＞0时，f(x)＝x＜0，则2013陕西理科数学第9页f[f(x)]＝6611xxxx.6632216661C()(1)C(1)CrrrrrrrrrrrTxxxxx.令3－r＝0，得r＝3，此时T4＝(－1)336C＝－20.9．答案：C解析：设矩形另一边长为y，如图所示.404040xy，则x＝40－y，y＝40－x.由xy≥300，即x(40－x)≥300，解得10≤x≤30，故选C．10．答案：D解析：对于选项A，取x＝－1.1，则[－x]＝[1.1]＝1，而－[x]＝－[－1.1]＝－(－2)＝2，故不正确；对于选项B，令x＝1.5，则[2x]＝[3]＝3,2[x]＝2[1.5]＝2，故不正确；对于选项C，令x＝－1.5，y＝－2.5，则[x＋y]＝[－4]＝－4，[x]＝－2，[y]＝－3，[x]＋[y]＝－5，故不正确；对于选项D，由题意可设x＝[x]＋β1,0≤β1＜1，y＝[y]＋β2,0≤β2＜1，则x－y＝[x]－[y]＋β1－β2，由0≤β1＜1，－1＜－β2≤0，可得－1＜β1－β2＜1.若0≤β1－β2＜1，则[x－y]＝[[x]－[y]＋β1－β2]＝[x]－[y]；若－1＜β1－β2＜0，则0＜1＋β1－β2＜1，[x－y]＝[[x]－[y]＋β1－β2]＝[[x]－[y]－1＋1＋β1－β2]＝[x]－[y]－1＜[x]－[y]，故选项D正确．第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．答案：9解析：由双曲线方程知a＝4.又54cea，解得c＝5，故16＋m＝25，m＝9.12．答案：π3解析：由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径r＝1，高SO＝2，则V几何体＝1π2π323.13．答案：－4解析：由y＝|x－1|＝1,1,1,1xxxx及y＝2画出可行域如图阴影部分所示．令2x－y＝z，则y＝2x－z，画直线l0：y＝2x并平移到过点A(－1,2)的直线l，此时－z最大，即z最小＝2×(－1)－2＝－4.14．答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·12nn解析：第n个等式的左边第n项应是(－1)n＋1n2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n＝12nn，故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋112nn.15．(2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A．答案：22013陕西理科数学第10页解析：(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋(a2＋b2)mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2abmn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2＝2(当且仅当m＝n＝2时等号成立)．B．答案：6解析：∠C与∠A在同一个O中，所对的弧都是BD，则∠C＝∠A．又PE∥BC，∴∠C＝∠PED．