众数-中位数-平均数教案

0.30.52.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征众数、中位数、平均数崔丽霞一、教学内容解析这是一堂关于众数、中位数、平均数的概念课．统计学最关心的是：我们的数据能提供哪些信息．为了能从数据中得到信息，除了对数据进行整理外，人们还用这些数据生成一些新的数，用它们来反映这组数据的特性，给出我们需要的信息，从而从整体上更好地把握总体的规律．在九义阶段，学生已通过实例，基本理解了众数、中位数、平均数的意义，会求数据的众数、中位数、平均数，并解释结果的实际意义，还能初步用样本的平均数估计总体的平均数，体会用样本估计总体的思想．在此基础上，高中必修内容要在解决统计问题的过程中，更好地理解众数、中位数、平均数的意义，进一步会用样本的众数、中位数、平均数等数字特征估计总体的数字特征，突出用样本估计总体的思想，并结合样本的选取初步体会样本数字特征的随机性，这将有利于学生从整体上更好地把握总体的规律，并为选学内容学习离散性随机变量的均值奠定基础．二、教学目标1．结合实际问题，让学生进一步学会用样本的众数、中位数、平均数等数字特征估计总体数字特征，并在此过程中突出用样本估计总体的思想，进一步体会定性分析与定量分析相结合的思想．2．让学生能结合实际问题，比较三种数字特征的优劣，从而更好地用样本数字特征反映总体数字特征．3．在用样本数字特征反映总体数字特征的过程中，体会由于样本数据的变化带来的数字特征的变化的随机思想，以及在此随机变化过程中总体呈现出来的统计规律．4．在获取样本数字特征的过程中，让学生理解数据的不同整理方法，以及不同图表的特点，从而学会如何从表示样本数据的各种图表中获取众数、中位数、平均数．三．重点与难点重点：用样本的众数、中位数和平均数估计总体的众数、中位数与平均数。难点：能应用相关的知识解决简单的实际问题。四．教学过程设计（一）.概念的复习在初中我们学过众数、中位数和平均数的概念，众数、中位数、平均数的概念为：（1.）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．（2.）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．如果将一组数按从小到大排列那么中位数的左边和右边恰有一样多的数据。(3.)平均数:一组数据中所有数据的平均数叫做这组数的平均数，数据的代表值众数：描述数据的“集中程度”中位数：描述数据的“集中趋势”平均数：描述数据的“一般水平”对一组样本数据如何求众数、中位数和平均数？引例1:在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数成绩(单位：米)1．501．601．651．701．751．801．851．90人数23234111解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75．上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）引例2。(2009辽宁)某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________h.解：10025103250102025980=1013（二）新授用频率分布直方图来估计众数、中位数、平均数请根据所调查的100位居民月用水量的频率分布直方图（图1），对全市居民月用水量的众数、中位数、平均数作出估计，并说明这些数字特征的实际意义．O0.511.522.533.544.5月平均用水量(t)分组频数频率［0，0.5）40.04［0.5，1）80.08［1，1.5）150.15［1.5，2）220.22［2，2.5）250.25［2.5，3）140.14［3，3.5）60.06［3.5，4）40.04［4，4.5）20.02合计1001说明:（1）从在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，你认为众数应在哪个小矩形内？由此估计总体的众数是什么？众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形下端中点的横坐标。这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t.如图所示：(2.)在频率分布直方图中，每个小矩形的面积表示什么？中位数左右两侧的直方图的面积应有什么关系？左边四组小矩形面积为0.04+0.08+0.15+0.22=0.49，再从第五组矩形中要0.01，就保证中位数左右面积相等。0.5×（0.01÷0.25）=0.02，中位数是2.02.或者设从2向右移x则0.01=0.5x解得x=0.022.02这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.0不一样,这是因为样本数据的频率分布直方图,只是直观地表明分布的形状,但是从直方图本身得不出原始的数据内容,所以由频率分布直方图得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数值不一致.(3)从直方图估计总体在各组数据内的平均数分别为多少？由引例猜在统计学中平均数原理，将频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加，就是样本数据的估值平均数.由此估计总体的平均数是什么？0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02（t）.平均数是2.02.平均数与中位数相等，是必然还是巧合？思考1：从居民月均用水量样本数据可知，该样本的众数是2.3，中位数是2.0，平均数是1.973，这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的是一个估计值，且所得估值与数据分组有关.在只有样本频率分布直方图的情况下，我们可以按上述方法估计众数、中位数和平均数，并由此估计总体特征.思考2：如果要对居民用水量进行限制，你认为对哪部分居民的用水量作出限制较为合理？显然，要对用量大的居民的用水量作出限制．探究：“用数据说话”，这是我们经常可以听到的一句话．但是，数据有时也会被利用，从而产生误导．例如，一个企业中，绝大多数是一线工人，他们的年收入可能是一万元左右，另有一些经理层次的人，年收入可以达到几十万元．这时，年收入的平均数会比中位数大得多．尽管这时中位数比平均数更合理些，但是这个企业的老板到人力市场去招聘工人时，也许更可能用平均数来回答有关工资待遇方面的提问．你怎样理解“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话的含义？一组数据的中位数一般不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但它对极端值的不敏感有时也会额成为缺点，样本数据的平均数大于（或小于）中位数说明样本数据中存在许多较大（或较小）的极端值，这句话具有模糊性甚至蒙骗性。（三）练习1。假设你是一名交通部门的工作人员．你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公路的建设投资为2200万元人民币，另外25个项目的投资在20万与100万之间．中位数是25万，平均数是100万，众数是20万元．你会选择哪一种数字特征来表示每一个项目的国家投资？你选择这种数字特征的缺点是什么？2、以往的招生统计数据显示，某所大学录取的新生高考总分的中位数基本上稳定在550分．你的一位校友在今年的高考中得了520分，你是立即劝阻他报考这所大学，还是先查阅一下这所大学招生的其他信息？解释一下你的选择．3、为了了解中学生的体能情况，抽取了某中学八年级学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，(1)第四小组的频率是__________(2)你认为众数应在哪个小矩形内？由此估计总体的众数是什么？（3）这次测验中，学生跳绳的次数的中位数落在四个小组中的哪一组内？说明理由。解：（1）由于各小组频率之和为1，故第四小组的频率=1-0.1-0.3-0.4=0.2（2）众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形下端中点的横坐标，估计总体的众数是112（3）在频率分布直方图中，每个小矩形的面积表示频率，中位数左右两侧的直方图的面积应相等。第一、第二组的频率之和为0.4，第三组频率为0.4、第四组的频率为0.2，所以学生跳绳的次数的中位数落在第三组内。4.某校从参加计算机水平测试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100)后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(Ⅰ)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(Ⅱ)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和利用各组中值估计这次考试平均分(组中值即某组数据区间的中点值，如[60，80)的组中值为70)；答案解：(Ⅰ)因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4=1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10=0.3．直方图如下图所示(4分)(Ⅱ)依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10=0.75．所以，抽样学生成绩的合格率是75%，利用组中值估算抽样学生的平均分为45×f1＋55×f2＋65×f3＋75×f4＋85×f5＋95×f6=45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05=71．估计这次考试的平均分是71分．5．（2009.海南、宁夏）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）.（Ⅰ）A类工人中和B类工人各抽查多少工人？（Ⅱ）从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2表1：生产能力分组［100，110）［110,120）［120,130）［130,140）［140,150）人数48x53表2：生产能力分组110,120120,130130,140140,150人数6y3618（1）先确定,xy，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）(ii)分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）。解（Ⅰ）A类工人中和B类工人中分别抽查25名和75名。（Ⅱ）(ⅰ)由485325x，得5x,6361875y，得15y。频率分布直方图如下从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小。（ii）485531051151251351451232525252525Ax，6153618115125135145133.875757575Bx，2575123133.8131.1100100xA类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的6.（2008宁夏、海南）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：由以上数据设计了如下茎叶图：根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：①__________________________________________________________________________②_______________________