2006年数学建模B题题目即答案

B题目:艾滋病疗法的评价及疗效的预测艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一�从1981年发现以来的20多年间�它已经吞噬了近3000万人的生命。艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”�英文简称AIDS�它是由艾滋病毒�医学全名为“人体免疫缺损病毒”,英文简称HIV�引起的。这种病毒破坏人的免疫系统�使人体丧失抵抗各种疾病的能力�从而严重危害人的生命。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用�当CD4被HIV感染而裂解时�其数量会急剧减少�HIV将迅速增加�导致AIDS发作。艾滋病治疗的目的�是尽量减少人体内HIV的数量�同时产生更多的CD4�至少要有效地降低CD4减少的速度�以提高人体免疫能力。迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法�目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用�而且成本也很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。ACTG320�见附件1�是同时服用zidovudine�齐多夫定��lamivudine�拉美夫定�和indinavir�茚地那韦�3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度�每毫升血液里的数量�。193A�见附件2�是将1300多名病人随机地分为4组�每组按下述4种疗法中的一种服药�大约每隔8周测试的CD4浓度�这组数据缺HIV浓度�它的测试成本很高�。4种疗法的日用药分别为�600mgzidovudine或400mgdidanosine�去羟基苷��这两种药按月轮换使用�600mgzidovudine加2.25mgzalcitabine�扎西他滨��600mgzidovudine加400mgdidanosine�600mgzidovudine加400mgdidanosine�再加400mgnevirapine�奈韦拉平�。请你完成以下问题��1�利用附件1的数据�预测继续治疗的效果�或者确定最佳治疗终止时间�继续治疗指在测试终止后继续服药�如果认为继续服药效果不好�则可选择提前终止治疗�。�2�利用附件2的数据�评价4种疗法的优劣�仅以CD4为标准��并对较优的疗法预测继续治疗的效果�或者确定最佳治疗终止时间。(3)艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下�600mgzidovudine1.60美元�400mgdidanosine0.85美元�2.25mgzalcitabine1.85美元�400mgnevirapine1.20美元。如果病人需要考虑4种疗法的费用�对�2�中的评价和预测�或者提前终止�有什么改变。1艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要�人类最宝贵的生命时刻受着疾病的威胁�新的治疗方案的发现给人们的健康增加了一份保障。对一种治疗方案的疗效评价与预测更是对这种疗法的发展前景起着关键的决定作用。疗效不好甚至有严重负面作用的药物就应当及时制止应用于临床治疗�以免给人类造成重大损失。本文以艾滋病的几种疗法为研究对象�对其做出疗法的评价及疗效的预测。首先�我们对检测患病人群所得数据进行整理�按实际情况抽取其中的有用数据�然后根据这些数据模拟血液中CD4、HIV的含量关于时间t的函数关系。并根据所得函数进行疗效预测�得到治疗方案的优劣以及最佳终止治疗时间的判定。然后�对较优的艾滋病疗法采用灰色系统理论�建立GM(1,1)预测模型�来确定较优方案继续治疗的疗效预测。考虑到实际中人体健康状况随年龄不同的差异�我们将患病人群按年龄的大小分为若干组来进行预测�并将预测结果拟合成光滑曲线�从图象观察走势。最后�将价格因素纳入到考虑范围�综合考虑价格与疗效的结合。类比于普通商品的性价比�我们可以将某种治疗方案疗效的量化函数与治疗费用的比值作为指标函数�可看作该治疗方法的“性价比”�通过这一指标的高低来判定相应治疗方案的优劣。关键字�曲线拟合灰色系统灰色预测疗效评价与预测指标函数2一、问题重述艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一�从1981年发现以来的20多年间�它已经吞噬了近3000万人的生命。艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”�英文简称AIDS�它是由艾滋病毒�医学全名为“人体免疫缺损病毒”,英文简称HIV�引起的。这种病毒破坏人的免疫系统�使人体丧失抵抗各种疾病的能力�从而严重危害人的生命。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用�当CD4被HIV感染而裂解时�其数量会急剧减少�HIV将迅速增加�导致AIDS发作。艾滋病治疗的目的�是尽量减少人体内HIV的数量�同时产生更多的CD4�至少要有效地降低CD4减少的速度�以提高人体免疫能力。迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法�目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用�而且成本也很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。ACTG320�见附件1�是同时服用zidovudine�齐多夫定��lamivudine�拉美夫定�和indinavir�茚地那韦�3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度�每毫升血液里的数量�。193A�见附件2�是将1300多名病人随机地分为4组�每组按下述4种疗法中的一种服药�大约每隔8周测试的CD4浓度�这组数据缺HIV浓度�它的测试成本很高�。4种疗法的日用药分别为�600mgzidovudine或400mgdidanosine�去羟基苷��这两种药按月轮换使用�600mgzidovudine加2.25mgzalcitabine�扎西他滨��600mgzidovudine加400mgdidanosine�600mgzidovudine加400mgdidanosine�再加400mgnevirapine�奈韦拉平�。请你完成以下问题��1�利用附件1的数据�预测继续治疗的效果�或者确定最佳治疗终止时间�继续治疗指在测试终止后继续服药�如果认为继续服药效果不好�则可选择提前终止治疗�。�2�利用附件2的数据�评价4种疗法的优劣�仅以CD4为标准��并对较优的疗法预测继续治疗的效果�或者确定最佳治疗终止时间。�3�艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下�600mgzidovudine1.60美元�400mgdidanosine0.85美元�2.25mgzalcitabine1.85美元�400mgnevirapine1.20美元。如果病人需要考虑4种疗法的费用�对�2�中的评价和预测�或者提前终止�有什么改变。二、问题的分析本题的关键在于如何利用附件中合理的数据�挖掘数据中的关系。在处理数据时�按以下的原则�1�题目中提供了患病者在不同时间点的治疗效果�即CD4和HVI的数量。仔细分析本题所给数据就会发现每个患者测试的次数不相同�测试的时间点的间距也没有规律�而且由于测试成本昂贵�所提供的时间点不超过6个。所以对于测试次数较少的患者没有什么参考价值�对于此类数据应剔除。有个别变化明显区别大多数变化规律的也予以剔除。2�对于附件1在测试时间初始处�由于个体差异和健康状况不同�每个人的CD4的数量差距比较大但HVI波动较小�所以根据CD4的初始状态把患者分成若干段�分别3进行分析和预测。同理由于年龄的波动也较大�于是根据年龄将附件2中的患者分成若干段�采用灰色系统预测CD4的走势。三、模型假设1CD4、HIV数量随时间的变化是连续的�对数据点做曲线拟合。2CD4与HIV数量的变化只与治疗的药物有关�外界状况对患者体内CD4和HIV数量的影响忽略。3最佳治疗终止时间后患者患病状况不予考虑。4患者在治疗过程中没有间断停药和漏服。四、模型的建立与求解一问题一的模型��一�模型一的建立�基于前面叙述的原则一�首先对附件1中的不利数据即考察时间点较少及明显不符合大致走向的数据从数据表中剔除�从而获得较有规律的数据表�然后在结合CD4和HIV两个因素参量来观察和预测。由于个人在接受治疗初期时CD4的含量因人而异同�而HIV的数量变化较小�从而依据CD4的初始状态将测试人群划分为七段�分别是[0�30�、[30�60�、[60�90�、[90�120�、[120�150�、[150�180�、[180�230�七个组。然后分别各分段的测试人群CD4和HIV数量的变化�利用数学软件matlab分别对其做四次多项式拟合。下图是各个组测试人群CD4数量与时间的变化关系�图14下图是各个组测试人群HIV数量与时间t的变化关系�图2下图是CD4数量在总体下关于t的拟和效果图35下图是HIV数量在总体下关于时间t的拟合效果�图4从以上CD4与时间t变化关系图中可以看出�在患者接受治疗初期�CD4有一段大约十周时间的明显增长�这是由于药物对体内的HIV病毒产生了作用�从而使体内的CD4的数量增加。但此后的增长放缓�这是由于HIV的产生了抗药作用�抑制了CD4的增长。到了20周左右又达到了第二次峰值�出现了治疗时期的反弹现象�直到35周左右�HIV产生了足够强的抗药性�使得患者体内的CD4急剧的减少�不再产生反弹现象。从以上HIV与时间t变化关系图中看出�在治疗初期�HIV有大约10周时间的减少�受到了药物的作用。但HIV产生了抗药性�产生大约10周的缓慢增长。接着又被药物抑制增长�使数量有了明显的减少。大约在35周附近�HIV的抗药性变强�药物对其不再产生作用�从而HIV的数量急剧增加。从图3中可看出CD4与HIV呈现此消彼长的现象�而且二者的峰值基本在同一时间点附近达到对立状态�从而此图为在确定何时为最佳治疗终止时间提供了有利的说明和预测。综上所述�在此种治疗方案下�患者体内的CD4的数量随时间的波动出现了两次波峰值�此时正好对应了HIV数量波动两次波谷值�并且第二次的峰值较第一次振动强烈。在以后的时段不会在再有反弹增加。因而我们预测的结果为接受治疗后患者将在10周附近出现第一次的增长的峰值�在此几乎同时出现HIV减少的第一次峰值��之后出现较平缓的减少趋势�在20周附近又出现增长并且增长速度不断增加�至35周附近将达到第二次增长的峰值�在此也同时出现了HIV减少的第二次峰值��并且比前一次峰值的出现要剧烈。之后由于HIV的抗药性很强使得CD4的数量比较快的减少�并不再有反弹增加的现象。6�二�模型结果的分析与验证根据处理过的数据表中每个测试患者的CD4的数量求出在测试时间的每个时间段内的CD4的变化率。然后在总体上利用数学软件matlab对CD4的变化率分别拟合曲线。下图是CD4变化率与时间t的变化关系�图5根据参考文献[5]中提到的�如果以CD4细胞的增长率30%以上为治疗有效�既无间断停药也无漏服的治疗有效率达到65.71%。所谓的最佳治疗终止时间即要找到一个时间使得在这个时间附近治疗效率尽量大。从图4中我们能够得到CD4的变化率大于30%的时间段大致为30周至37周�而且在35周附近增长率达到峰值�而对于前面模型预测的最佳治疗时间25周附近落在了这个区间内�而且增长率正好达到了峰值。因此根据参考文献和模型的提前假设知前面预测的最佳治疗终止时间的精确度是很高的。二问题二的模型�一�评价模型1、模型的建立本题关键在于确定评价的指标�通常采用模糊评价模型。而题目中要求仅以CD4为目标�则转化为单指标函数。通过单指标函数来评价4中疗法的的优劣。从统计学角度出发�1300多名病人随机的分为4组�因此可以认为每组的年龄分布�CD4数量的初始状态分布是大致相同的。因此从总体出发来寻找指标函数。我们利用数学软件matlab从总体上拟合每种疗法中CD4的数量关于时间t变化的曲线�将函数记为:)(xfi(i=1,2,3,4)将单指标函数定义为�F=max()(xfi)(i=1,2,3,4)7我们取从第0周到第40周作为观察时段�四种疗法的CD4数量关于时间t的变化如下图所示�图6从图中我们可以清楚的看到�在第0周到第40周这段时间内�峰值最大的是疗法四�即用疗法四是指标函数取到了最大值。因而在仅以CD4为