三角形三边关系应用题-模型--答案版

模型构建专题：解直角三角形应用中的“双直角三角形”模型1◆类型一叠合式1．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为()A．23mB．26mC．(23－2)mD．(26－2)m第1题图第2题图2．(2017·邵阳中考)如图，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°.n秒后火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是________．3．芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型(如图甲)，图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长(结果精确到0.1米，3≈1.732)．1．B2.(203－20)km3．解：设DH＝x米．在Rt△CHD中，∠CDH＝60°，∴CH＝DH·tan60°＝3x米，∴BH＝BC＋CH＝(2＋3x)米．在Rt△AHB中，∠A＝30°，∴AH＝BHtan30°＝3BH＝(23＋3x)米．∵AH＝AD＋DH，∴20＋x＝23＋3x，解得x＝10－3，∴BH＝2＋3(10－3)＝103－1≈16.3(米)．答：立柱BH的长约为16.3米．4．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45°和60°，矩形建筑物宽度AD＝20m，高度DC＝30m，则信号发射塔顶端到地面的高度(即FG的长)为(c)A．(353＋55)mB．(253＋45)mC．(253＋75)mD．(50＋202)m5．如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°.则建筑物CD的高度为___123___m(结果不作近似计算)．6.如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°.求塔高AB(结果保留整数，3≈1.73，2≈1.41)．解：由题意得∠AEB＝30°，∠ACE＝15°，又∠AEB＝∠ACE＋∠CAE，∴∠CAE＝15°，即△ACE为等腰三角形，∴AE＝CE＝100m，又在Rt△AEF中，∠AEF＝60°，∴EF＝AE·cos60°＝50(m)，AF＝AE·sin60°＝503(m)．又在Rt△BEF中，∠BEF＝30°，∴BF＝EF·tan30°＝50×33＝5033(m)，∴AB＝AF－BF＝503－5033＝10033≈58(m)．模型构建专题：解直角三角形应用中的“双直角三角形”模型2◆类型二背靠式1．某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°.若直升机镜头C处的高度CD为300米，点A，D，B在同一直线上，则雪道AB的长度为(D)A．300米B．1502米C．900米D．(3003＋300)米第4题图第5题图2．全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为11°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD＝10米，则此塑像的高AB约为___58_____米(参考数据：tan78°12′≈4.8)．3．(2017·青岛中考)如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长(参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，3≈1.73，结果保留整数)．[来源:学#科#网][来源:学§科§网]3解：过点B作BD⊥AC于点D，∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，∴∠ABD＝67°，∴AD＝AB·sin67°≈520×1213＝480(km)，BD＝AB·cos67°≈520×513＝200(km)．∵C地位于B地南偏东30°方向，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD·tan30°＝20033(km)，∴AC＝AD＋CD＝480＋20033≈480＋115＝595(km)．4．如图，在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝_(73＋＋21)___米(结果保留根号)．5.如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离AB是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M的仰角为45°.小红的眼睛与地面的距离CD是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧(点B、N、D在同一条直线上)．求出旗杆MN的高度．(参考数据：2≈1.4，3≈1.7，结果保留整数．)解：过点A作AE⊥MN于E，过点C作CF⊥MN于F，则EF＝AB－CD＝1.7－1.5＝0.2(m)．∵在Rt△AEM中，∠AEM＝90°，∠MAE＝45°，∴AE＝ME.设AE＝ME＝xm，则MF＝(x＋0.2)m，FC＝(28－x)m.在Rt△MFC中，∵∠MFC＝90°，∠MCF＝30°，∴MF＝CF·tan∠MCF.∴x＋0.2＝33(28－x)．解得x≈10.0.∴MN＝ME＋EN≈10＋1.7≈12(米)．24.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向．求此时小船到B码头的距离（即BP的长）和A、B两个码头间的距离（结果都保留根号）．AB=AM+BM=（10+103）海里，BP=PMsin45PM=102海里，模型构建专题：解直角三角形应用中的“双直角三角形”模型3◆其他1．如图，美国侦察机B飞抵我国近海搞侦察活动，我战斗机A奋起拦截，地面雷达C测得：当两机都处在雷达的正东方向，且在同一高度时，它们的仰角分别为∠DCA＝45°，∠DCB＝30°，它们与雷达的距离分别为AC＝80千米，求此时两机的距离是多少千米？2.如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）答案：50050023.如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1∶3(即AB∶BC＝1∶3)，且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度．(测倾器的高度忽略不计)解：过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形，∴AF＝BE，EF＝AB＝2，设DE＝x米，在Rt△CDE中，CE＝DEtan∠DCE＝DEtan60°＝33x，在Rt△ABC中，∵ABAC＝13，AB＝2，∴BC＝23，在Rt△AFD中，DF＝DE－EF＝x－2，∴AF＝DFtan∠DAF＝x－2tan30°＝3(x－2)，∵AF＝BE＝BC＋CE，∴3(x－2)＝23＋33x，解得x＝6，即树DE的高度为6米．