三维热传导问题温度场分布的数值分析

三维热传导问题温度场分布的数值分析目录contents01热传导及导热的基本定律02导热微分方程及定解条件03导热问题的数值求解基础04各种数值解法的介绍01热传导及导热的基本定律热传导及导热的基本定律一热传导当物体内有温差或两个不同温度的物体直接接触时,在物体各部分之间不发生相对位移的情况下,依靠物质微粒的热运动而产生的热量传递现象称为热传导,简称导热01热传导及导热的基本定律二、热流量及热流密度•1.热流量•单位时间内通过某一给定面积的热量称为热流量,记为,单位为W•2.热流密度•单位时间通过单位面积的热量称为热流密度(或称面积热流量),记为q,单位为W/㎡,于是有Aq01热传导及导热的基本定律三、温度场和温度梯度•1.温度场•物体内部产生导热的起因在于物体各部分之间具有温度差,所以研究导热必然涉及物体的温度分布.在某一瞬时,物体内各点的温度分布称为温度场.在一般情况下,温度是空间坐标(x,y,z)和时间()的函数,即•随时间而变动的温度场称为非稳态温度场,在非稳态温度场中发生的导热称为非稳态导热.各店温度不随时间变动的温度场称为稳态温度场,在稳态温度场中发生的导热称为稳态导热.一维温度场具有最简单的数学形式,,,zyxftxft01热传导及导热的基本定律•2.温度梯度•在同一瞬时,物体内温度相同的各点所连成的面或线称为等温面或等温线.由于物体内同一点上不可能同时具有两个不同的温度,所以温度不同的等温面或线不会相交.•观察一物体内温度为t及t+Δt的两个不同温度的等温面,沿等温面法线方向上的温度增量Δt与法向距离Δn比值的极限称为温度梯度,用符号gradt表示nngradttnntlim0nΔΔΔ01热传导及导热的基本定律四、热导率及傅里叶定律•1.热导率•设有大平壁,厚度为δ，两侧的表面积均为A,两侧表面分别维持均匀的温度𝒕𝒘𝟏和𝒕𝒘𝟐且𝒕𝒘𝟏𝒕𝒘𝟐。实践表明,单位时间内从表面1传导到表面2的热流量𝜱与两侧温差𝜟𝒕=𝒕𝒘𝟏−𝒕𝒘𝟐，及垂直于热流方向的面积A成正比,与平壁的厚度δ成反比,即•式中,比例系数λ称为热导率或导热系数,单位为W/(m·K),是表征材料导热能力的物理量.它与物质的种类,温度,密度和湿度等因素有关,可由实验测定,一般金属的热导率最大,非金属和液体次之,气体最小δΔtA01热传导及导热的基本定律2.傅里叶定律•傅里叶归纳了无数实验研究结果,提出了导热的基本定律:单位时间内通过单位面积的热量(即热流密度q)正比于该处的温度梯度,写成矢量形式,即•该式为傅里叶定律的数学表达式,式中负号表示热流密度的方向永远指向温度降低的方向.写成标量形式为•热导率的定义式可由傅里叶定律表达式得到•λ表征物质导热能力大小ntngradtqntqntq01热传导及导热的基本定律02导热微分方程及定解条件02导热微分方程及定解条件导热微分方程傅里叶定律揭示了导热量与温度梯度的关系，要想确定温度梯度，必须首先求解导热体内的温度分——温度场。因此必须建立一个能全面描述导热问题温度场的数学表达式，即导热微分方程然后结合具体的单值性条件求解方程便可得出特定条件下的温度分布t=f(x,y,z,,τ)02导热微分方程及定解条件对于非稳态，有内热源的问题，由能量守恒定律，热平衡方程式应该是导入微元体的总热流量微元体内热源的生成热导出微元体的总热流量微元体热力学能的增量任意方向的总热流量可以分解为x、y、z三个坐标轴方向的分热流量。02导热微分方程及定解条件导入微元体的热流量由傅里叶定律得出，即𝜱𝒙=−𝝀𝝏𝒕𝝏𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛𝜱𝒚=−𝝀𝝏𝒕𝝏𝒚𝒅𝒙𝒅𝒛𝜱𝒛=−𝝀𝝏𝒕𝝏𝒛𝒅𝒙𝒅𝒚02导热微分方程及定解条件导出微元体的热流量按傅里叶定律写出，即𝜱𝒙+𝒅𝒙=𝜱𝒙+𝝏𝜱𝒙𝝏𝒙𝒅𝒙=𝜱𝒙+(−𝝀𝝏𝒕𝝏𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛)𝒅𝒙𝜱𝒚+𝒅𝒚=𝜱𝒚+𝝏𝜱𝒚𝝏𝒚𝒅𝒚=𝜱𝒚+(−𝝀𝝏𝒕𝝏𝒚𝒅𝒙𝒅𝒛)𝒅𝒚𝜱𝒛+𝒅𝒛=𝜱𝒛+𝝏𝜱𝒛𝝏𝒛𝒅𝒛=𝜱𝒛+(−𝝀𝝏𝒕𝝏𝒛𝒅𝒙𝒅𝒚)𝒅𝒛02导热微分方程及定解条件单位时间内微元体热力学能的增量=𝝆𝒄𝝏𝒕𝝏𝝉𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛其中，ρ为密度；c为比热；τ为时间。单位时间内微元体内热源的生成热设单位时间内单位体积中热源的生成热为𝜱，称之为内热源强度，单位为W/𝒎𝟑,则有单位时间内微元体内热源的生成热=𝜱dxdydz02导热微分方程及定解条件带入总的热平衡方程式并化简可得：𝝆𝒄𝝏𝒕𝝏𝝉=𝝏𝝏𝒙𝝀𝝏𝒕𝝏𝒙+𝝏𝝏𝒚𝝀𝝏𝒕𝝏𝒚+𝝏𝝏𝒛𝝀𝝏𝒕𝝏𝒛+𝜱对常物性导热问题可简化为：𝝏𝒕𝝏𝝉=𝝀𝝆𝒄(𝝏𝟐𝒕𝝏𝒙𝟐+𝝏𝟐𝒕𝝏𝒚𝟐+𝝏𝟐𝒕𝝏𝒛𝟐)式中λ/（ρc）=a为热扩散率，单位为𝒎𝟐/s，是一个物性参数。当既无内热源，又为稳态导热时，可简化为𝝏𝟐𝒕𝝏𝒙𝟐+𝝏𝟐𝒕𝝏𝒚𝟐+𝝏𝟐𝒕𝝏𝒛𝟐=𝟎02导热微分方程及定解条件定解条件初始条件：给定初始时刻的温度分布边界条件：给出物体边界上的温度或换热情况（1）、第一类边界条件给定边界上的温度值。τ0时，𝒕𝒘=𝒇𝟏𝝉如，𝒕𝒘=常数（2）、第二类边界条件给定边界上的热流密度值。τ0时，−𝝀(𝝏𝒕𝝏𝒏)𝒘=𝒒𝒘=𝒇𝟐𝝉如，边界上的热流密度保持定值，𝒒𝒘=常数。（3）、第三类边界条件给定边界上物体与周围流体间的对流热表面传热系数h及周围的流体温度𝒕𝒇。−𝝀(𝝏𝒕𝝏𝒏)𝒘=𝒉(𝒕𝒘−𝒕𝒇)02导热微分方程及定解条件通过无限大平壁的导热设有一厚度为δ的平壁，材料的导热率𝝀为常数，如图所示，平壁两侧分别维持均匀而恒定的温度𝒕𝒘𝟏和𝒕𝒘𝟐则壁内温度只延壁厚x方向变化，是一维稳态导热。壁内的等温面是平行于两侧面的平面，画如图所示坐标图。02（一）以导热微分方程式为出发点求解由一维稳态导热微分方程（内无热源、常物性）𝒅𝟐𝒕𝒅𝒙𝟐=𝟎积分两次得𝒕=𝒄𝟏𝒙+𝒄𝟐边界条件𝒙=𝒐,𝒕=𝒕𝒘𝟏𝒙=δ,𝒕=𝒕𝒘𝟐带入边界条件得𝒄𝟏=𝒕𝒘𝟏𝒄𝟐=𝒕𝒘𝟐−𝒕𝒘𝟏δ得到温度表达式𝒕=𝒕𝒘𝟐−𝒕𝒘𝟏δ𝒙+𝒕𝒘𝟏02（二）用傅里叶定律求解从壁左侧𝒙处取微元平壁d𝒙，由傅里叶定律表达式得𝒒=−𝝀𝒅𝒕𝒅𝒙分离变量后积分得𝒒𝒅𝒙𝒙𝟎=𝝀𝒅𝒕𝒕𝒕𝒘𝟏稳态导热q为常数𝒕=𝒕𝒘𝟏−𝒒𝝀𝒙当𝒙=δ时，𝒕=𝒕𝒘𝟐，得𝒒=𝒕𝒘𝟏−𝒕𝒘𝟐δ𝝀=∆𝒕δ𝝀=∆𝒕𝒓𝝀或𝜱=𝒒𝑨=∆𝒕δ𝝀𝑨=∆𝒕𝑹𝝀将q带入𝒕=𝒕𝒘𝟏−𝒒𝝀𝒙可得𝒕=𝒕𝒘𝟐−𝒕𝒘𝟏δ𝒙+𝒕𝒘𝟏03导热问题的数值求解基础03导热问题的数值求解基础原则上，导热问题的求解就是对导热微分方程方程式在规定的边界和初始条件下求解。这种解法称为分析解法。但从前面的分析看出，分析解法只能求解一些导热体的几何形状或边界条件简单的导热问题。对于工程技术中遇到的许多几何形状或边界条件复杂的导热问题，由于数学上的困难还无法得出其分析解。这时，就该数值解法上场表演了。03导热问题的数值求解基础数值解法是求解所有上述情况下导热问题的有效方法。有限差分法数值解法有限元法边界元法andsoon03导热问题的数值求解基础导热问题数值求解的基本思想对物理问题进行数值求解的基本思想可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量场，如导热物体的温度场，用有限个离散点上的值的集合来代替；通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，获得离散点上被求物理量的值。这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。这一基本思想可用求解过程的框图来表示：03导热问题的数值求解基础这一基本思想可用求解过程的框图来表示：建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值求解代数方程是否收敛解的分析改进初场是否04导热问题的数值求解基础稳态导热问题的数值计算以下图所示的二维矩形域内的无热源、常物性的稳态导热问题为例。为了数值计算，必须首先将求解区域离散化，选取离散点（区域离散化），如右图所示，用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分为多个子区域，网格线交点就是所选取的需要确定温度值的离散点，称为节点。节点的位置以该点在两个方向上的标号𝒊、𝒋来表示，节点温度表示为𝒕𝒊,𝒋相邻节点间的距离称为步长，记为𝚫𝒙、𝚫𝒚每一个节点都可以看成是以它为中心的一个小区域的代表，下图中有阴影线的小区域即是节点（𝒊，𝒋）所代表的区域，它由相邻两节点连线的中垂线构成，称节点所代表的小区域为元体。显然，节点的温度代表的了元体的平均温度。04导热问题的数值求解基础内部节点的有限差分方程下面用热平衡法建立节点的有限差分方程。热平衡法的基本原理就是对任一元体，根据能量守恒定律写出热平衡式。对于无内热源的稳态导热，导入节点（𝒊，𝒋）的热流量的代数和等于零，即𝚽𝑳+𝚽𝑹+𝚽𝑻+𝚽𝑩=𝟎由于是导入热流量，左侧导热温差为（𝒕𝒊−𝟏,𝒋−𝒕𝒊,𝒋），对于单元厚度的元体，根据傅里叶定律，左侧导入的热量为𝚽𝑳=𝝀𝚫𝒚𝒕𝒊−𝟏,𝒋−𝒕𝒊,𝒋𝚫𝒙同理右侧、上侧和下侧导入的热流量分别为𝚽𝑳=𝝀𝚫𝒙𝒕𝒊,𝒋−𝟏−𝒕𝒊,𝒋𝚫𝒚𝚽𝑹=𝝀𝚫𝒚𝒕𝒊+𝟏,𝒋−𝒕𝒊,𝒋𝚫𝒙𝚽𝑻=𝝀𝚫𝒙𝒕𝒊,𝒋+𝟏−𝒕𝒊,𝒋𝚫𝒚03导热问题的数值求解基础内部节点的有限差分方程将上述𝚽𝑳、𝚽𝑹、𝚽𝑻、𝚽𝑩的表达式带入𝚽𝑳+𝚽𝑹+𝚽𝑻+𝚽𝑩=𝟎，得𝝀𝚫𝒚𝒕𝒊−𝟏,𝒋−𝒕𝒊,𝒋𝚫𝒙+𝝀𝚫𝒚𝒕𝒊+𝟏,𝒋−𝒕𝒊,𝒋𝚫𝒙+𝝀𝚫𝒙𝒕𝒊,𝒋+𝟏−𝒕𝒊,𝒋𝚫𝒚+𝝀𝚫𝒙𝒕𝒊,𝒋−𝟏−𝒕𝒊,𝒋𝚫𝒚=𝟎若𝚫𝒙=𝚫𝒚，则上式变为𝒕𝒊−𝟏,𝒋+𝒕𝒊+𝟏,𝒋+𝒕𝒊,𝒋−𝟏+𝒕𝒊,𝒋+𝟏−𝟒𝒕𝒊,𝒋=𝟎上式即为节点有限差分方程，简称节点方程03导热问题的数值求解基础边界节点的有限差分方程对于第一类边界条件，边界节点温度已给定，所有内节点的差分方程组成了一个封闭的代数方程组，可以立即进行求解。但对于含有第二类或第三类边界条件的导热问题，由内节点的差分方程组成的方程组不是封闭的，因为其中包含了未知的边界温度，因而还必须补充边界节点的有限差分方程，才能使方程组封闭。以第三类边界条件下的边界节点（𝒊，𝒋）为例，一方面相邻节点以导热方程向边界节点导入热量，另一方面周围环境与该节点有对流传热热流量。稳态时，传给边界节点（𝒊，𝒋）的热流量之代数和等于零，即𝝀𝚫𝒚𝒕𝒊−𝟏,𝒋−𝒕𝒊,𝒋𝚫𝒙+𝝀𝚫𝒙𝟐𝒕𝒊,𝒋−𝟏−𝒕𝒊,𝒋𝚫𝒚+𝝀𝚫𝒙𝟐𝒕𝒊,𝒋+𝟏−𝒕𝒊,𝒋𝚫𝒚+𝒉𝚫𝒚𝒕𝒇−𝒕𝒊,𝒋=𝟎牛顿冷却公式P12403导热问题的数值求解基础边界节点的有限差分方程𝝀𝚫𝒚𝒕𝒊−𝟏,𝒋−𝒕𝒊,𝒋𝚫𝒙+𝝀𝚫𝒙𝟐𝒕𝒊,𝒋−𝟏−𝒕𝒊,𝒋𝚫𝒚+𝝀𝚫𝒙𝟐𝒕𝒊,𝒋+𝟏−𝒕𝒊,𝒋𝚫𝒚+𝒉𝚫𝒚𝒕𝒇−𝒕𝒊,𝒋=𝟎若𝚫𝒙