高中数学解析几何解题方法

高中解析几何复习资料高考专题：解析几何常规题型及方法A:常规题型方面（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)xy11，(,)xy22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。典型例题给定双曲线xy2221。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程。分析：设Pxy111(,)，Pxy222(,)代入方程得xy121221，xy222221。两式相减得()()()()xxxxyyyy12121212120。又设中点P（x,y），将xxx122，yyy122代入，当xx12时得22201212xyyyxx·。又kyyxxyx121212，代入得24022xyxy。当弦PP12斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是24022xyxy说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。典型例题设P(x,y)为椭圆xayb22221上任一点，Fc10(,)，Fc20(,)为焦点，PFF12，PFF21。（1）求证离心率sinsin)sin(e；（2）求|||PFPF1323的最值。高中解析几何复习资料分析：（1）设||PFr11，|PFr22，由正弦定理得rrc122sinsinsin()。得rrc122sinsinsin()，sinsin)sin(ace（2）()()aexaexaaex3332226。当x0时，最小值是23a；当ax时，最大值是26323aea。（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。ypxpxytx210()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。（1）证明：抛物线的准线为114：xp由直线x+y=t与x轴的交点（t，0）在准线右边，得tptp14440，而由消去得xytypxy21()xtpxtp2220()()()()2422tptpptp()440故直线与抛物线总有两个交点。（2）解：设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)xxtpxxtp121222，OAOBkkOAOB，1则xxyy12120又yytxtx1212()()xxyyttp1212220()高中解析几何复习资料pfttt()22又，得函数的定义域是ptpft0440()()()200，，（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。1若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。2若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。典型例题已知抛物线y2=2px(p0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a代入抛物线方程y2=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A（x1,y1）,B(x2,y2)，则221212)(204)(4axxpaxxapa,又y1=x1-a,y2=x2-a,,2)2(80,0)2(8,2||0)2(8]4)[(2)()(||21221221221pappapppABappxxxxyyxxAB解得:.42pap(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：paxxx2213,.2)()(221213paxaxyyy所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=P2，所以S△NAB=22222||22||||21pppABpQNAB,即△NAB面积的最大值为P22。（5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。典型例题已知直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对高中解析几何复习资料称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y2=2px(p0)设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：A/（12,11222kkkk），B（1)1(8,116222kkkk）。因为A、B均在抛物线上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=251,p=552.所以直线L的方程为：y=251x,抛物线C的方程为y2=554x.2．曲线的形状未知-----求轨迹方程典型例题已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|=|MQ|}，由平面几何知识可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将M点坐标代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.当=1时它表示一条直线；当≠1时，它表示圆。这种方法叫做直接法。（6）存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）典型例题已知椭圆C的方程xy22431，试确定m的取值范围，使得对于直线yxm4，椭圆C上有不同两点关于直线对称。分析：椭圆上两点(,)xy11，(,)xy22，代入方程，相减得31212()()xxxx412()yy()yy120。又xxx122，yyy122，kyyxx121214，代入得yx3。又由yxyxm34解得交点(,)mm3。MNQO高中解析几何复习资料交点在椭圆内，则有()()mm224331，得2131321313m。（7）两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用kkyyxx1212121···来处理或用向量的坐标运算来处理。典型例题已知直线l的斜率为k，且过点P(,)20，抛物线Cyx:()241，直线l与抛物线C有两个不同的交点（如图）。（1）求k的取值范围；（2）直线l的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。分析：（1）直线ykx()2代入抛物线方程得kxkxk222244440()，由0，得110kk()。（2）由上面方程得xxkk122244，yykxx12212224()()，焦点为O(,)00。22arctan由kkyyxxkkOAOB·12122211，得k22，或22arctanB:解题的技巧方面在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：（1）充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。典型例题设直线340xym与圆xyxy2220相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OPOQ，求m的值。解：圆xyxy2220过原点，并且OPOQ，yBAP(-2,0)Ox高中解析几何复习资料PQ是圆的直径，圆心的坐标为M()121，又M()121，在直线340xym上，31241052()mm，即为所求。评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且OPOQ，PQ是圆的直径，圆心在直线340xym上，而是设PxyQxy()()1122，、，再由OPOQ和韦达定理求m，将会增大运算量。评注：此题若不能挖掘利用几何条件OMP90，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。二.充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。典型例题已知中心在原点O，焦点在y轴上的椭圆与直线yx1相交于P、Q两点，且OPOQ，||PQ102，求此椭圆方程。解：设椭圆方程为axbyab2210()，直线yx1与椭圆相交于P()xy11，、Qxy()22，两点。由方程组yxaxby1122消去y后得()abxbxbxxbabxxbab2121221021，由kkOPOQ1，得yyxx1212（1）又P、Q在直线yx1上，yxyxyyxxxxxx1122121212121213111，，()()()()()把（1）代入，得2101212xxxx()，即21210()babbab化简后，得ab2（4）由||PQ102，得()()xxyy12212252高中解析几何复习资料()()()()xxxxxxbabbab1221221225445424154，，把（2）代入，得48302bb，解得b12或b32代入（4）后，解得a32或a12由ab0，得ab3212，。所求椭圆方程为322122xy评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。三.充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。典型例题求经过两已知圆Cxyxy122420：和Cxyy22224：0的交点，且圆心在直线l：2410xy上的圆的方程。解：设所求圆的方程为：xyxyxyy222242240()即()()()114214022xyxy，其圆心为C（2111，）又C在直线l上，22141110，解得13，代入所设圆的方程得xyxy22310为所求。评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。四、充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法。典型例题P为椭圆22221xyab上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。五、线段长的几种简便计算方法①