含绝对值一次方程的解法

初中数学培优辅导讲义含绝对值一次方程的解法辅导时间：姓名：［例1］解方程(1)0223|21|x(2)0|12|3xx解：|1–2x|+3–4=0解：|2x–1|=3+x［x≥-3］|1–2x|=12x–1=3+x或2x–1=-(3+x)1–2x=1或1–2x=-1x1=4或x2=32x1=0或x2=1★当方程中只含有一个绝对值时，可将绝对值看作一个整体来求解，再根据绝对值的定义去掉绝对值符号，最终达到解方程的目的。解含绝对值方程的总原则是设法去掉绝对值符号，化为一般方程。由绝对值的定义：0000||aaaaaa可知，本题解法中，是先设法确定未知数的取值范围，从而得到绝对值中部分的正、负取值，最终达到去绝对值符号的目的。【小试牛刀】1、|x–2|-2=02、041|31|31x3、4–2|5–x|=3x〖x1=4，x2=0〗〖x1=121，x2=127〗〖x1=-6，x2=514(舍)〗［例2］解方程|x-|2x+1||=3解：x-|2x+1|=3或x-|2x+1|=-3|2x+1|=x–3［x≥3］或|2x+1|=x+3［x≥-3］2x+1=x–3或2x+1=-(x–1)或2x+1=x+3或2x+1=-(x+3)x1=-4(舍)x2=32(舍)x3=2x4=34∴原方程的解为x1=2，x2=34【小试牛刀】1、2+|3-|x+4||=2x〖x1=31(舍)，x2=9(舍)，x3=3，x4=35(舍)〗2、|||x–1|-1|-1|-1=0〖x1=4，x2=-2，x3=2，x4=0〗［例3］解方程|3x–2|+|x+1|=10解：令3x–2=0，x=32；令x+1=0，x=-1①当x＜-1时，②当–1≤x＜32时③当x≥32时-(3x–2)–(x+1)=10-(3x–2)+x+1=103x–2+x+1=10-3x+2–x–1=10-3x+2+x+1=103x+x=10+2–1-3x–x=10–2+1-3x+x=10–2–14x=11-4x=9-2x=7∴x=411∴x=49∴x=27(舍)∴原方程的解为x1=49，x2=411★由于零是正、负的分界点，因此解题中所用的分类方法常被称为“零点”法。在解题时应注意分段后各自求得的解是否在相应的取值范围内，从而确定它是否是原方程真正的解。【小试牛刀】1、|x–4|-|x+3|=2〖x=21〗2、15+|2x+3|-2|2–3x|=0〖x1=-2，x2=211〗3、|x–2|-3|x+1|=2x–9〖x=34〗［思考］1、已知ab0，且|a|=2，|b|=7，求a+b的值解：∵|a|=2，∴a=±2，∵|b|=7，∴b=±7又∵ab0，∴a、b异号∴a+b=5725)7(2答：a+b=-5或a+b=52、已知|3x–2|+|2y+3|=0，求|x+y+1|的值解：∵|3x–2|+|2y+3|=0∴032023yx∴2332yx∴|x+y+1|=|12332|=|61|=613、已知abc0，求||||||||||||||abcabcacacbcbcababccbbaa的值解：∵abc0∴a、b、c为三正或二负一正①当a0，b0，c0时原式=abcabcacacbcbcababccbbaa=1+1+1+1+1+1+1=7②不访设a0，b0，c0原式=abcabcacacbcbcababccbbaa=-1–1+1+1–1–1+1=-14、已知：|a|=a+1，|x|=2ax，求|x–1|-|x+1|+2的最小值与最大值解：∵|a|=a+1∴a=a+1或a=-(a+1)∴0x=1(无解)或a=21又∵|x|=2ax∴|x|=-x，∴x≤0令x–1=0，x=1，令x+1=0，x=-1①当x≤-1时|x–1|-|x+1|+2=-(x–1)+(x+1)+2=-x+1+4+1+2=4②当–1＜x≤0时|x–1|-|x+1|+2=-(x–1)–(x+1)+2=-x+1–x–1+2=-2x+2=)0(2)1(4xx答：|x–1|-|x+1|+2的最大值为4，最小值为2