概率论与数理统计(浙江大学版本)

概率与统计开课系：非数学专业教师:叶梅燕e-mail:[e-mail]教材：《概率论与数理统计》王松桂等编科学出版社2002参考书：1.《概率论与数理统计》浙江大学盛骤等编高等教育出版社2.《概率论与数理统计》魏振军编中国统计出版社序言概率论是研究什么的？随机现象：不确定性与统计规律性概率论——研究和揭示随机现象的统计规律性的科学目录•第一章随机事件及其概率•第二章随机变量•第三章随机变量的数字特征•第四章样本及抽样分布•第五章参数估计•第六章假设检验第一章随机事件及其概率•随机事件及其运算•概率的定义及其运算•条件概率•事件的独立性1.1随机事件及其概率一、随机试验(简称“试验”)随机试验的特点(p1)1.可在相同条件下重复进行；2.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。随机试验常用E表示E1:抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3:某城市某年某月内发生交通事故的次数；E4:掷一颗骰子，可能出现的点数；E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重。随机实验的例子随机事件二、样本空间(p2)1、样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为={e}；2、样本点:试验的单个结果或样本空间的单元素称为样本点,记为e.3.由样本点组成的单点集称为基本事件,也记为e.幻灯片6随机事件1.定义样本空间的任意一个子集称为随机事件,简称“事件”.记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素。2.两个特殊事件:必然事件S、不可能事件.(p3)例如对于试验E2，以下A、B、C即为三个随机事件:A＝“至少出一个正面”＝{HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH}；B=“两次出现同一面”={HHH,TTT}C=“恰好出现一次正面”={HTT，THT，TTH}再如，试验E6中D＝“灯泡寿命超过1000小时”＝{x:1000xT(小时）}。三、事件之间的关系既然事件是一个集合，因此有关事件间的关系、运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规则来处理。1.包含关系(p3)“事件A发生必有事件B发生”记为ABA＝BAB且BA.2.和事件：(p3)“事件A与事件B至少有一个发生”，记作AB2’n个事件A1,A2,…,An至少有一个发生，记作iniA13.积事件(p4):事件A与事件B同时发生，记作AB＝AB3’n个事件A1,A2,…,An同时发生，记作A1A2…An4.差事件(p5)：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而事件B不发生思考：何时A-B=?何时A-B=A？5.互斥的事件（也称互不相容事件）(p4)即事件与事件不可能同时发生。AB＝6.互逆的事件(p5)AB＝,且AB＝BABAAAB易见的对立事件，称为记作;五、事件的运算(p5)1、交换律：AB＝BA，AB＝BA2、结合律：(AB)C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，(AB)C＝(AC)(BC)4、对偶(DeMorgan)律：.,,kkkkkkkkAAAABAABBABA可推广例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：::::::::::::654321“三人均未命中目标”“三人均命中目标””“最多有一人命中目标“恰有两人命中目标”“恰有一人命中目标””“至少有一人命中目标AAAAAACBACBACBACBACBABCACABBACACBABCCBA1.2概率的定义及其运算从直观上来看，事件A的概率是描绘事件A发生的可能性大小的量P（A）应具有何种性质？*抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？*掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？*向目标射击，命中目标的概率有多大？(p10)若某实验E满足：1.有限性：样本空间S＝{e1,e2,…,en};2.等可能性：（公认）P(e1)=P(e2)=…=P(en).则称E为古典概型也叫等可能概型。1.2.1.古典概型与概率设事件A中所含样本点个数为N(A)，以N()记样本空间中样本点总数，则有P(A)具有如下性质(P7)(1)0P(A)1；(2)P()＝1；P()=0(3)AB＝，则P(AB)＝P(A)＋P(B)古典概型中的概率(P10):()()()NAPAN例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}A={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}()7()()8NAPAN二、古典概型的几类基本问题乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法。（也可推广到分若干步）复习：排列与组合的基本概念加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。（也可推广到若干途径）这两公式的思想贯穿着整个概率问题的求解。有重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，nnnn共有nk种排列方式.无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式.nn-1n-2n-k+1组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k个，共有种取法.)!(!!!knknkPknCknkn1、抽球问题例1:设合中有3个白球，2个红球，现从合中任抽2个球，求取到一红一白的概率。解:设A-----取到一红一白25()NC1213)(CCAN53)(251213CCCAP答:取到一红一白的概率为3/5一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是nNknMNkMCCCp在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。2、分球入盒问题例2：将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒33)(SN!3)(AN92)(AP}{}{1)(全有球空两合PPBP32923313一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒至多有一球的概率是：nnmmPpP9某班级有n个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？3.分组问题例3：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。解:设A:每组有一名运动员;B:3名运动员集中在一组!10!10!10!30)(101010201030CCCSN20350)(!9!9!9!27!3)(SNAP)(3)(10101020727SNCCCBP!!....!1mnnn一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第i组恰有ni个球(i=1,…m)，共有分法：4随机取数问题例4从1到200这200个自然数中任取一个,(1)求取到的数能被6整除的概率(2)求取到的数能被8整除的概率(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率解:N(S)=200,N(3)=[200/24]=8N(1)=[200/6]=33,N(2)=[200/8]=25(1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25某人向目标射击，以A表示事件“命中目标”，P（A）=？定义:(p8)事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A).即fn(A)＝nA/n.1.3频率与概率历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。实验者nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.5005频率的性质(1)0fn(A)1；(2)fn(S)＝1；fn()=0(3)可加性：若AB＝，则fn(AB)＝fn(A)＋fn(B).实践证明：当试验次数n增大时，fn(A)逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率1.3.2.概率的公理化定义注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义1.定义(p8)若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)P(A)≥0；(2)P()＝1；(3)可列可加性：设A1，A2，…,是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有P(A1A2…)＝P(A1)＋P(A2)+….(1.1)则称P(A)为事件A的概率。2.概率的性质P(10-13)(1)有限可加性：设A1，A2，…An,是n个两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,n,则有P(A1A2…An)＝P(A1)＋P(A2)+…P(An);(3)事件差A、B是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB)(2)单调不减性：若事件AB，则P(A)≥P(B)(4)加法公式：对任意两事件A、B，有P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情形；(3)互补性：P(A)＝1－P(A);(5)可分性：对任意两事件A、B，有P(A)＝P(AB)＋P(AB).某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.%80000%103%30)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报例1.3.2.在110这10个自然数中任取一数，求（1）取到的数能被2或3整除的概率，（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。解:设A—取到的数能被2整除;B--取到的数能被3整除21)(AP103)(BP故)()()()()1(ABPBPAPBAP101)(ABP107)(1)()2(BAPBAP103)()()()3(ABPAPBAP52袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问第一个人取得红球的概率是多少？第二个人取得红球的概率是多少？1.4条件概率若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为A条件下B的条件概率，记作P(B|A)若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？一、条件概率例1设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率;（2）求第二次取到红球的概率（3）求两次均取到红球的概率设A——第一次取到红球,B——第二次取到红球41)|()1(ABP5223