数学模型第四版课后答案姜启源版

第一章作业解答第1页共55页《数学模型》作业答案第二章(1)（2012年12月21日）1．学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）.按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者;（2）.§1中的Q值方法；（3）.d’Hondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.解：先考虑N=10的分配方案，,432,333,235321ppp31.1000iip方法一（按比例分配）,35.23111iipNpq,33.33122iipNpq32.43133iipNpq分配结果为：4,3,3321nnn方法二（Q值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：4,3,2321nnn12345ABC235117.578.358.75…333166.511183.25…43221614410886.4第一章作业解答第2页共55页第10个席位：计算Q值为,17.92043223521Q,75.92404333322Q2.93315443223Q3Q最大，第10个席位应给C.分配结果为5,3,2321nnn方法三（d’Hondt方法）此方法的分配结果为：5,3,2321nnn此方法的道理是：记ip和in为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）.iinp是每席位代表的人数，取,,2,1in从而得到的iinp中选较大者，可使对所有的,iiinp尽量接近.再考虑15N的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：宿舍（1）（2）（3）（1）（2）（3）ABC322333455443555667总计1010101515152．试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型.解：设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.考虑t到tt时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdnwknrvdt两边积分，得ntdnwknrkvdt00)(2)222nwkk(rnπvt.222nvkwnvrkt《数学模型》作业解答第三章1（2008年10月14日）第一章作业解答第3页共55页1.在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．解：设购买单位重量货物的费用为k,其它假设及符号约定同课本．01对于不允许缺货模型，每天平均费用为：krrTcTcTC2)(212221rcTcdTdC令0dTdC，解得rccT21*2由rTQ，得212crcrTQ与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．02对于允许缺货模型，每天平均费用为：kQQrTrcrQccTQTC23221)(221),(2223322221222TkQrTQcrcrTQcTcTCTkrTQccrTQcQC332令00QCTC，得到驻点：323222233232132233221)(22cckrcccrkcccccrcQcckcccrccT与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．第一章作业解答第4页共55页2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k，销售速率为常数r，rk．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间00Tt一边生产一边销售，后来的一段时间)(0TtT只销售不生产，画出贮存量)(tg的图形.设每次生产准备费为1c，单位时间每件产品贮存费为2c，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论rk和rk的情况.解：由题意可得贮存量)(tg的图形如下：贮存费为niTiitTTrkcdttgctgc10202022)()()(lim又)()(00TTrTrkTkrT0,贮存费变为kTTrkrc2)(2于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为kTrkrcTckTTrkrcTcTC2)(2)()(21221krkrcTcdTdC2)(221.0dTdC令,得)(221rkrckcT易得函数处在TTC)(取得最小值，即最优周期为：)(221rkrckcTrcc，Trk212时当.相当于不考虑生产的情况.rk)(tgrtgT0TO第一章作业解答第5页共55页，Trk时当.此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.第三章2（2008年10月16日）3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：考虑灭火速度与火势b有关，可知火势b越大，灭火速度将减小，我们作如下假设:1)(bkb，分母时是防止中的011bb而加的.总费用函数xcbkxbxtcbkxbtctcxC3122121211)1()(2)1(2最优解为kbkcbbbckbcx)1(2)1()1(2232215．在考虑最优价格问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设tqtq0)(，为增长率.又设单位时间的销售量为)(为价格pbpax.今将销售期分为TtTTt220和两段，每段的价格固定，记作21,pp.求21,pp的最优值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T内的总售量为0Q，再求21,pp的最优值.解：按分段价格，单位时间内的销售量为TtTbpaTtbpax2,20,21又tqtq0)(.于是总利润为202221121)()()()(),(TTTdtbpatqpdtbpatqppp=22)(022)(20222011TTttqtpbpaTttqtpbpa=)8322)(()822)((20222011TtqTpbpaTTqTpbpa第一章作业解答第6页共55页)(2)822(12011bpaTTTqTpbp)(2)8322(22022bpaTTtqTpbp0,021pp令,得到最优价格为:)43(21)4(210201TqbabpTqbabp在销售期T内的总销量为20221210)(2)()(TTTppbTaTdtbpadtbpaQ于是得到如下极值问题：)8322)(()822)((),(max2022201121TtqTpbpaTTqTpbpappts.021)(2QppbTaT利用拉格朗日乘数法，解得：880201TbTQbapTbTQbap即为21,pp的最优值.第三章3（2008年10月21日）6.某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费1c＝2500（元）;第一章作业解答第7页共55页每天每吨角钢的贮存费2c＝0.18（元）.又现在的订货周期T0＝30（天）根据不允许缺货的贮存模型：krrTcTcTC2121)(得：kTTTC10092500)(令0dTdC，解得：35092500*T由实际意义知：当350*T（即订货周期为350）时，总费用将最小.又kTC10035095025003)(*＝300＋100kkTC100309302500)(0=353．33＋100k)(0TC－)(*TC＝（353.33＋100k）－（300＋100k）32＝53．33.故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T*=350，能节约费用约53．33元.《数学模型》作业解答第四章（2008年10月28日）1.某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用A原料1千克,B原料5千克；一件乙产品用A原料2千克,B原料4千克.现有A原料20千克,B原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？解：设安排生产甲产品x件,乙产品y件，相应的利润为S则此问题的数学模型为：maxS=20x+30ys.t.Zyxyxyxyx,,0,7045202这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线1l：x+2y=20,2l:5x+4y＝702ly925002TdTdC第一章作业解答第8页共55页以及x=0,y=0组成的凸四边形区域.直线l：20x+30y=c在可行域内l平行移动.易知：当l过1l与2l的交点时，1lxS取最大值.由7045202yxyx解得510yx此时maxS＝2053010＝350（元）2.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：货物体积（立方米/箱）重量（百斤/箱）利润（百元/箱）甲5220乙4510已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为1x,2x,所获利润为z.则问题的数学模型可表示为211020maxxxzZyxxxxxxxst,,0,13522445212121这是一个整线性规划问题.用图解法求解.可行域为：由直线2445:211xxl1352:212xxl及0,021xx组成直线cxxl211020:在此凸四边形区域内平行移动.2ll1x1l2x第一章作业解答第9页共55页易知：当l过l1与l2的交点时，z取最大值由135224452121xxxx解得1421xx90110420maxz.3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大．并求出最大利润.解：设安排生产甲型微波炉x件,乙型微波炉y件,相应的利润为S.则此问题的数学模型为：maxS=3x+2ys.t.Zyxyxyxyx,,12,61202410032这是一个整线性规划问题用图解法进行求解可行域为：由直线1l：2x+3y=100,2l:4x+2y＝120及x=6,y=12组成的凸四边形区域.直线l：3x+2y=c在此凸四边形区域内平行移动.易知：当l过1l与2l的交点时,S取最大值.由1202410032yxyx解得第一章作业解答第10页共55页2020yx.maxS＝320220＝100.《数学模型》作业解答第五章1（2008年11月12日）1.对于