斜立体几何

试卷第1页，总21页1．如图，在斜三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，，.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（Ⅰ）要证平面平面，即证平面，易证；（Ⅱ）以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到结果.【详解】（Ⅰ）取的中点，连接，因为底面是边长为的正三角形，所以，且，因为，，，所以，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以平面，又因为平面，试卷第2页，总21页所以平面平面.（Ⅱ）如图所示，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，其中，则，所以，，，设为平面的法向量，则即，令，得；设为平面的法向量，则即，令，得；所以，所以二面角的正弦值为【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.试卷第3页，总21页2．如图，在斜三棱柱中，底面是边长为的正三角形，为棱的中点，，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求斜三棱柱的体积.【答案】(1)见解析;(2)【解析】【分析】（Ⅰ）根据底面为正三角形，易得；由各边长度，结合余弦定理，可求得的值，再根据勾股定理逆定理可得，可证平面。（Ⅱ）将斜棱柱的体积，转化为棱锥的体积，结合三角形面积公式可求解。【详解】（Ⅰ）如图，连接，因为底面是边长为的正三角形，所以，且，因为，，，所以，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以平面.（Ⅱ）设斜三棱柱的体积为，则试卷第4页，总21页所以斜三棱柱的体积为【点睛】本题考查了立体几何中线面垂直的证明，几何体体积的求法，熟练掌握线面关系的证明原理非常重要，属于基础题。3．已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=900，BC=2，AC=，且AA1⊥A1C，AA1=A1C．（Ⅰ）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；（Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小。【答案】(1)见解析;(2)600【解析】【分析】（Ⅰ）作A1D⊥AC，垂足为D，由平面A1ACC1⊥平面ABC可得A1D⊥平面ABC，故∠A1AD即为A1A与平面ABC所成的角，解三角形可得∠A1AD=450即为所求．（Ⅱ）方法一：用几何法，作出两平面所成的二面角，解直角三角形可得所求角的大小．方法二：建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，借助两法向量夹角求出二面角的大小．【详解】（Ⅰ）解：作A1D⊥AC，垂足为D，∵平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC，∴A1D⊥平面ABC，∴∠A1AD即为A1A与平面ABC所成的角．∵AA1⊥A1C，AA1=A1C，试卷第5页，总21页∴∠A1AD=450，∴侧棱A1A与底面ABC所成角为450．（Ⅱ）解法一：作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则有A1D⊥平面ABC，由三垂线定理得A1E⊥AB，∴∠A1ED是平面A1ABB1与平面ABC所成二面角的平面角.由已知得AB⊥BC，所以ED∥BC.又D是AC的中点，BC=2，AC=，∴DE=1，AD=A1D=，在∴∠A1ED=600，∴侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小为600．（Ⅱ）解法二：由（Ⅰ）可知⊥平面ABC，于是以为原点，过点平行于BC、AB的直线为x、y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则.设平面的法向量为，由，得，令，则，∴．试卷第6页，总21页又平面ABC的法向量为，∴，由图形得侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角为锐角，∴侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小为600．【点睛】（1）用几何法求空间角时，要体现出“一作、二证、三计算”的步骤，即先作出所求的角，然后通过解三角形得到所求角的大小（或某一三角函数值）．（2）用向量法求空间角时，在求得两向量的夹角后，还要注意向量的夹角和所求空间角的关系，即要把向量的夹角转化为所求的空间角．4．如图，在三棱柱中，，.(I)求证：;(II)在棱上取一点M,,若与平面所成角的正弦值为，求.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（I）由菱形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理可得平面，从而根据面面垂直的判定定理可得结果；(II)取的中点试卷第7页，总21页为,根据面面垂直的性质，结合等腰三角形的性质可证明，两两垂直，以，的正方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，求出，由（1）知平面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可.【详解】（I）证明：由题意知四边形是菱形，则，如图，设，连接,易求得，又为的中点，所以,又，所以，所以(II)解：如图所示，取的中点为,则由,得,又平面,平面,所以，又,所以，以为原点，的正方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，试卷第8页，总21页则,设，则由,得所以，由（1）知平面的一个法向量为所以,解得或-1(负值舍去)，所以【点睛】本题主要考查证明面面垂直、利用空间向量求线面面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.5．如图，斜三棱柱中，侧面为菱形，底面是等腰直角三角形，，C．试卷第9页，总21页（1）求证：直线直线；（2）若直线与底面ABC成的角为，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先证平面，再证平面，可证直线直线（2）由作AB的垂线，垂足为D，则平面ABC，过A作的平行线，交于E点，则平面ABC，以AB,AC,AE分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，由空间向量法可求得二面角。【详解】证明：连接，侧面为菱形，，又C，，平面，，又，，试卷第10页，总21页平面，平面，直线直线；解：由知，平面平面，由作AB的垂线，垂足为D，则平面ABC，，得D为AB的中点，过A作的平行线，交于E点，则平面ABC，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则为平面的一个法向量，则0，，2，，，设平面的法向量，由，取，得，，故二面角的余弦值为．【点睛】利用向量法求二面角的注意事项：(1)两平面的法向量的夹角不一定就是所求的二面角，有可能是两法向量夹角的补角为所求；(2)求平面的法向量的方法有，①待定系数法，设出法向量坐标，利用垂直关系建立坐标的方程，解之即可得法向量；②先确定平面的垂线，然后取相关线段对应的向量，即确定了平面的法向量．6．在三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，，.试卷第11页，总21页（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若底面是以为直角顶点的直角三角形，且，求二面角的正弦值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】【分析】(1)由菱形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，从而可得平面，进而可得结果；（2）由（1）可知，，，则，又，则平面，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立坐标系，求出平面的法向量与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】（1）证明：连接，∵四边形是菱形，且，∴为等边三角形.取的中点，连接，，则，又∵，∴，∵，、平面，∴平面，又∵平面，∴.试卷第12页，总21页（2）由（1）及题意可知，，，则，又，则平面，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的坐标系，则，，，，，∴，，，∴，∴，∴，设平面的法向量为，则，可得，故可取.设平面的法向量为，同理可取，∴，∴二面角的正弦值为.【点睛】本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.7．如图，在底面为等边三角形的斜三棱柱中，，四边形为试卷第13页，总21页矩形，过作与直线平行的平面交于点.(1)证明:；(2)若直线与底面所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，推导出，由四边形为平行四边形，得为的中位线，从而为的中点，由此能证明；（2）过作平面，垂足为，连接，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值.【详解】解:(1)如图，连接交于点，连接.因为平面平面，平面平面，所以.试卷第14页，总21页又四边形为平行四边形，所以为的中点，所以为的中位线，所以为的中点.又为等边三角形，所以.(2)过作平面，垂足为，连接，设，则.因为直线与底面所成的角为，所以.在中，因为，所以，.为平面平面，所以，四边形为矩形，所以，因为，所以.因为平面平面，所以平面.因为平面，所以.又为等边三角形，所以为的中点.以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.则，，，.因为，试卷第15页，总21页所以，因为，所以，，，.设平面的法向量为.由，得，令，得，所以平面的一个法向量为.设平面的法向量为，由，得，令，得，所以平面的一个法向量为.所以，因为所求二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.【点睛】求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．8．如图,四棱柱中,底面是等腰梯形,,,是线段的中点,平面.试卷第16页，总21页(1)求证:平面；(2)若,求平面和平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，即可通过线面垂直的判定方法证得平面；（2）写出相应点的坐标，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，即可求得答案.详解：(1)证明方法一:连接，因为底面是等腰梯形且所以，，又因为是的中点，因此，且，所以，且，又因为且，所以，因为，平面，所以平面，所以，平面平面，在平行四边形中，因为,所以平行四边形是菱形，因此，所以平面.试卷第17页，总21页解法二：底面是等腰梯形，,,所以，，因此，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则,，由得，所以,,,，因此，且，所以且，所以，平面.(2)底面是等腰梯形，,,所以，，因此，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则,,,，所以，,，设平面的一个法向量，试卷第18页，总21页由得，由是平面的法向量，因此，平面和平面所成的锐二面角的余弦值是.点睛：本题考查用空间向量求平面间的夹角，主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等相关知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力.9．如图，三棱柱中，已知四边形是菱形，与交于点，且，，，.（1）连接，证明：直线平面.（2）求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值.【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）要证平面，转证，即可；（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量,代入公式计算即可.【详解】（1）因为平行四边形是菱形，所以，且是的中点.又因为，，所以且.又因为，为公共边，所试卷第19页，总21页以，所以，故，从而，，两两垂直.所以平面.（2）由（1）可知，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系，则，，，，，因为，，两两垂直，所以平面，所以是平面的一个法向量；设是平面的一个法向量，则，即，令，得，，所以所以所以平面和平面所成的角（锐角）的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法