高数中的重要定理与公式及其证明(一)

在这里，没有考不上的研究生。跨考魔鬼集训营01高数中的重要定理与公式及其证明（一）考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。1）常用的极限0ln(1)lim1xxx，01lim1xxex，01limlnxxaax，0(1)1limaxxax，201cos1lim2xxx【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限10lim(1)xxxe与0sinlim1xxx的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技巧。证明：0ln(1)lim1xxx：由极限10lim(1)xxxe两边同时取对数即得0ln(1)lim1xxx。01lim1xxex：在等式0ln(1)lim1xxx中，令ln(1)xt，则1txe。由于极限过程是0x，此时也有0t，因此有0lim11ttte。极限的值与取极限的符号是无关的，因此我们可以吧式中的t换成x，再取倒数即得01lim1xxex。01limlnxxaax：利用对数恒等式得ln0011limlimxxaxxaexx，再利用第二个极限可得lnln0011limlnlimlnlnxaxaxxeeaaxxa。因此有01limlnxxaax。在这里，没有考不上的研究生。跨考魔鬼集训营020(1)1limaxxax：利用对数恒等式得ln(1)ln(1)ln(1)00000(1)111ln(1)1ln(1)limlimlimlimlimln(1)ln(1)aaxaxaxxxxxxxeexexaaaxxaxxaxx上式中同时用到了第一个和第二个极限。201cos1lim2xxx：利用倍角公式得22220002sinsin1cos1122limlimlim222xxxxxxxxx。2）导数与微分的四则运算法则'''''''''22(),d()(),d()(),d()(0)uvuvuvdudvuvuvuvuvvduudvuvuuvuvduudvvvvvv【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。3）链式法则设(),()yfuux，如果()x在x处可导，且()fu在对应的()ux处可导，则复合函数(())yfx在x处可导可导，且有：'''(())()()dydydufxfuxdxdudx或【点评】：同上。4）反函数求导法则设函数()yfx在点x的某领域内连续，在点0x处可导且'()0fx，并令其反函数为()xgy，且0x所对应的y的值为0y，则有：'0''00111()()(())dxgydyfxfgydydx或【点评】：同上。在这里，没有考不上的研究生。跨考魔鬼集训营035）常见函数的导数'1xx，'sincosxx，'cossinxx，'1lnxx，'1loglnaxxa，'xxee，'lnxxaea【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上，掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明。证明：'1xx：导数的定义是'0()()()limxfxxfxfxx，代入该公式得'1100(1)1(1)1()limlimxxxxxxxxxxxxxxxxx。最后一步用到了极限0(1)1limaxxax。注意，这里的推导过程仅适用于0x的情形。0x的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。'sincosxx：利用导数定义'0sin()sinsinlimxxxxxx，由和差化积公式得002cos()sinsin()sin22limlimcosxxxxxxxxxxx。'cossinxx的证明类似。'1lnxx：利用导数定义'00ln(1)ln()ln1lnlimlimxxxxxxxxxxx。'1loglnaxxa的证明类似（利用换底公式lnloglnaxxa）。'xxee：利用导数定义()'001limlimxxxxxxxxxeeeeeexx。'lnxxaea的证明类似（利用对数恒等式lnxxaae）。