高数中的重要定理与公式及其证明(五)

在这里，没有考不上的研究生。跨考魔鬼集训营01高数中的重要定理与公式及其证明（五）考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。6）柯西—施瓦兹不等式设函数(),()fxgx都在区间,ab上可积且平方可积（注意：这里没有说连续），则有222()()()()bbbaaafxgxdxfxdxgxdx【点评】：这个公式是教材上的习题，在考试时可以直接用。该公式在(),()fxgx连续时也成立，但证明方法有区别，通过这个例子可以说明应用牛顿—莱布尼兹公式时检验被积函数是否连续的重要性。证明：法一：令222()()()()(),,xxxaaaFxftgtdtftdtgtdtxab则()0Fa。而'222222222()2()()()()()()()()2()()()()()()()()()()()()0xxxaaaxaxaFxfxgxftgtdtfxgtdtgxftdtfxgxftgtfxgtgxftdtfxgtgxftdt因此()Fx在区间,ab上单调递减。则有()()0FbFa。整理即得所需不等式。证毕注：就本题来说，这个证明过程是错的。因为本题没有说(),()fxgx连续，因此在这里，没有考不上的研究生。跨考魔鬼集训营02不能用变上限积分求导公式，也就是说对'()Fx的计算是不合法的。把这个证明过程放在这里是因为在考研范围内我们遇到的函数大多是连续的，而且利用函数单调性的方法在积分不等式的证明中也是很有代表性的。法二：易知，tR，有2()()0bafxtgxdx。将括号打开可得2222()()()2()()()bbbbaaaafxtgxdxtgxdxtfxgxdxfxdx将该式看作变量t的二次函数，()ht。可知，()0ht对任意的实数t都成立。由二次函数的相关理论可知，该二次函数的判别式小于或等于零也即2222()()4()()0bbbaaafxgxdxgxdxfxdx整理即得所需不等式。证毕注：由于这种证明方法所用到的条件比(),()fxgx连续弱，因此当(),()fxgx连续时，该证明过程也成立。但这个证明过程所用到的方法不具有代表性，大家了解一下即可。