高数中的重要定理与公式及其证明(六)

在这里，没有考不上的研究生。跨考魔鬼集训营01高数中的重要定理与公式及其证明（六）考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。7）二元函数偏导数存在与可微的关系如果函数(,)zfxy在点(,)xy可微，则函数在该点连续且两个偏导数均存在，并且22zzzxyoxyxy【点评】：学到多元函数时第一个困扰我们的就是多元函数的可微与可导不再等价，它们与连续性的关系也变得更为复杂了。下面希望能通过几个定理与反例来将这个关系说清楚。证明：由可微的定义可知存在只与(,)xy有关而与,xy实数,AB使得22zAxByoxy在点(,)xy附近成立。现证明zAx，由偏导数定义可知，这等价于证明0(,)(,)limxfxxyfxyAx。由于22zAxByoxy成立，因此(,)(,)fxxyfxyAxox则000(,)(,)limlimlimxxxAxoxoxfxxyfxyAxxx。由高阶无穷小的定义可知0lim0xoxx。因此，有0(,)(,)limxfxxyfxyAx。也即zAx。在这里，没有考不上的研究生。跨考魔鬼集训营02同理，可证zBy。证毕注1：关于二元函数可微，偏导数存在、连续和偏导数连续的关系可以用下图来表示：也就是说：偏导数连续的函数必然可微，可微的函数必然连续并且存在偏导数，但连续和偏导数存在这两个概念本身是互不包含的（也就是说连续的函数不一定存在偏导数，偏导数存在的函数也不一定连续）。注二：例如：1）函数(,)fxyxy，在(0,0)连续，但偏导数不存在。2）又如函数222222,0(,)0,0xyxyxyfxyxy，在（0，0）处的偏导数是存在的。因为'00(,0)(0,0)0(0,0)limlim00xxxfxffxx，同理我们可以得到'(0,0)0yf而2222200122lim(,),lim(,)2255xyxyxxxxfxyfxyxx也就说(,)xy沿不同路径趋于(0,0)得到的极限值是不一样的。因此二重极限(,)(0,0)lim(,)xyfxy不存在。进而可得到(,)fxy在(0,0)点处不连续。注三：如果二元函数(,)fxy的两个偏导数都存在且偏导数作为二元函数是连续的，则该二元函数是可微的。这也是一个定理，证明过程不需要掌握，但定理的结论要熟记。