【人教A版】高中数学必修5全套1.2.2正、余弦定理在三角形中的应用(39张)

【课标要求】1.掌握三角形的面积公式，会用公式计算三角形面积.2.会用正、余弦定理解决三角形中一些恒等式的证明问题.3.会用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题．自主学习基础认识|新知预习|三角形面积公式(1)S＝12底×高；(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA；(3)S＝12·r·(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．|化解疑难|解三角形面积问题的注意事项：求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及夹角的正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用．|自我尝试|1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形．()(2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积．()(3)已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积．()√××2．在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为()A.12B.32C.3D．23解析：S△ABC＝12AB·AC·sinA＝32.答案：B3．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A．75°B．60°C．45°D．30°解析：由S△ABC＝33＝12BC·CA·sinC＝12×3×4sinC得sinC＝32，又C为锐角．故C＝60°.答案：B4．在△ABC中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC的面积是()A．9B．8C．93D．183解析：由题知A＝180°－120°－30°＝30°，∴6sin30°＝bsin30°，∴b＝6，∴S＝12×6×6sin120°＝93.答案：C5．△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sinB＝513，cos∠ADC＝35，则AD＝________.25解析：如图，由cos∠ADC＝35，知Bπ2，从而cosB＝1213，sin∠ADC＝45.从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADCcosB－sinBcos∠ADC＝3365.在△BAD中，由正弦定理ADsinB＝BDsin∠BAD，得AD＝BD·sinBsin∠BAD＝25.答案：25课堂探究互动讲练类型一三角形面积的计算[例1]在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且3a＝2csinA.(1)确定角C的大小；(2)若c＝7，且△ABC的面积为332，求a＋b的值．解析：(1)因为3a＝2csinA，所以asinA＝2c3.由正弦定理知asinA＝csinC，所以csinC＝2c3，所以sinC＝32.因为△ABC是锐角三角形，所以C＝π3.(2)因为c＝7，C＝π3，由面积公式得：12absinπ3＝332，即ab＝6.由余弦定理得a2＋b2－2abcosπ3＝7，所以a2＋b2－ab＝7，即(a＋b)2－3ab＝7，所以(a＋b)2＝25，所以a＋b＝5.方法归纳(1)本题采用了整体代换的思想，把a＋b，ab作为整体，求解过程既方便又灵活．(2)三角形面积公式有多种形式，根据题中的条件选择最合适的面积公式．在解三角形中通常选用S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB，这个公式中含有正弦值，可以和正弦定理建立关系，又由正弦值还可求出余弦值，这就可以与余弦定理建立关系，另外面积公式中有两边的乘积，在余弦定理中也有，所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换，关键是根据题中的条件选择正确的变换方向．跟踪训练1在本例中，把“锐角”去掉，其他条件不变．(1)确定角C的大小；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求a＋b的值．解析：(1)因为3a＝2csinA，所以asinA＝2c3，所以csinC＝2c3，从而sinC＝32.所以C＝π3或2π3.(2)当C＝π3时，由面积公式知12absinπ3＝332，即ab＝6，又由余弦定理，得a2＋b2－2abcosπ3＝7，所以a2＋b2－ab＝7.即(a＋b)2－3ab＝7，所以(a＋b)2＝25.所以a＋b＝5.当C＝2π3时，由面积公式得12absin2π3＝332，即ab＝6.又由余弦定理得a2＋b2－2abcos2π3＝7，所以a2＋b2＋ab＝7.即(a＋b)2－ab＝7，所以(a＋b)2＝13，所以a＋b＝13.类型二平面图形中线段长度的计算[例2]如图，在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，B＝45°，b＝10，cosC＝255.(1)求边长a；(2)设AB中点为D，求中线CD的长．【解析】(1)由cosC＝255，C∈(0°，90°)，得sinC＝1－cos2C＝1－2552＝55，sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝22×255＋22×55＝31010，由正弦定理得a＝bsinAsinB＝10×3101022＝32.(2)由余弦定理得c2＝(32)2＋(10)2－2×32×10×255＝4，所以c＝2，又因为D为AB的中点，所以BD＝1.在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2×BD×BC×cosB＝12＋(32)2－2×1×32×22＝13，∴CD＝13.方法归纳,三角形中几何计算问题的解题思路(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．(2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件．跟踪训练2如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．解析：在△ABD中，设BD＝x，则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA.即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，整理得x2－10x－96＝0，解之x1＝16，x2＝－6(舍去)．由正弦定理得BCsin∠CDB＝BDsin∠BCD，所以BC＝16sin135°·sin30°＝82.类型三三角形中三角恒等式的证明问题[例3]在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.求证：a2－b2c2＝sinA－BsinC.【解析】法一由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，得a2－b2＝b2－a2＋2c(acosB－bcosA)，即a2－b2＝c(acosB－bcosA)，变形得a2－b2c2＝acosB－bcosAc＝accosB－bccosA.由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，得ac＝sinAsinC，bc＝sinBsinC，所以a2－b2c2＝sinAcosB－sinBcosAsinC＝sinA－BsinC.法二sinA－BsinC＝sinAcosB－cosAsinBsinC＝sinAsinCcosB－sinBsinCcosA＝ac·a2＋c2－b22ac－bc·b2＋c2－a22bc＝a2＋c2－b22c2－b2＋c2－a22c2＝2a2－b22c2＝a2－b2c2.所以原等式成立．方法归纳,三角恒等式中，一般同时含有边和角，证明时既可以化边为角，也可化角为边，然后进行三角变换或者代数变换，通常依据式子的特征合理选择变化角度．跟踪训练3在△ABC中，求证：a－ccosBb－ccosA＝sinBsinA.证明：左边＝a－ca2＋c2－b22acb－cb2＋c2－a22bc＝a2－c2＋b22a·2bb2－c2＋a2＝ba＝sinBsinA＝右边，所以a－ccosBb－ccosA＝sinBsinA.|素养提升|1．解三角形问题中常用的公式三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理外，常见的公式还有：(1)l＝a＋b＋c(l为三角形的周长)．(2)A＋B＋C＝π.(3)S＝12aha(a为BC的边长，ha为BC边上的高)．(4)S＝abc4R(R是三角形外接圆的半径)．2．运用三角形面积公式时应注意的问题(1)解与三角形面积有关的问题，常需要利用正弦定理、余弦定理，解题时要注意发现各元素之间的关系，灵活运用公式．(2)对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三角形面积的和．|巩固提升|1．如图，在四边形ABCD中，已知B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于()A.3B．53C．63D．73解析：连结BD，在△BCD中，由余弦定理，得BD2＝22＋22－2×2×2·cos120°＝12，即BD＝23.∵BC＝CD，∴∠CBD＝30°，∴∠ABD＝90°，即△ABD为直角三角形．故S四边形ABCD＝S△BCD＋S△ABD＝12×2×2×sin120°＋12×4×23＝53.答案：B2．在△ABC中，若AB＝2，AC2＋BC2＝8，则△ABC面积的最大值为()A.2B．2C.3D．3解析：∵AC2＋BC2≥2AC·BC，∴AC·BC≤4，cosC＝AC2＋BC2－AB22AC·BC，∴cosC≥12，∴0°C≤60°.△ABC的面积S＝12AC·BC·sinC，由基本不等式，可知当且仅当AC＝BC＝2时，面积有最大值Smax＝12×2×2×32＝3，故选C.答案：C3．在△ABC中，bc＝20，S△ABC＝53，△ABC的外接圆半径为3，则a＝________.解析：∵S△ABC＝12bcsinA＝53，bc＝20，∴sinA＝32.∵△ABC的外接圆半径为3，∴由正弦定理知asinA＝23，∴a＝23sinA＝23×32＝3.答案：3