2016年全国初中数学联合竞赛试题

2016年全国初中数学联赛（决赛）试题第1页2016年全国初中数学联合竞赛试题第一试(3月20日上午8:30-9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)1.用x表示不超过x的最大整数，把xx称为x的小数部分.已知123t，a是t的小数部分，b是t的小数部分，则112ba（）.A12.B32.C1.D32.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有（）.A9种.B10种.C11种.D12种3(A).如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）.A6858.B6860.C9260.D92623(B）.已知二次函数21(0)yaxbxa的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当ab为整数时，ab（）.A0.B14.C34.D24.已知O的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C，连接AO并延长交O于点E,若8,AB2CD,则BCE的面积为（）.A12.B15.C16.D185.如图，在四边形ABCD中，090BACBDC，5ABAC,1CD,对角线的交点为M，则DM().A32.B53.C22.D126.设实数,,xyz满足1,xyz则23Mxyyzxz的最大值为()2016年全国初中数学联赛（决赛）试题第2页.A12.B23.C34.D1二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B）】已知ABC的顶点A、C在反比例函数3yx（0x）的图象上，090ACB,030ABC,ABx轴，点B在点A的上方，且6,AB则点C的坐标为.1(B).已知ABC的最大边BC上的高线AD和中线AM恰好把BAC三等分，3AD,则AM.2(A).在四边形ABCD中，BC∥AD,CA平分BCD,O为对角线的交点，,CDAO,BCOD则ABC.3.【3(A)、4(B)】有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是.3(B).若质数p、q满足：340,111,qppq则pq的最大值为.4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M,则M的最大值为.第二试(3月20日上午9:50—11:20)一、（本题满分20分）已知,ab为正整数，求22324Maabb能取到的最小正整数值.2016年全国初中数学联赛（决赛）试题第3页二、（本题满分25分）(A).如图，点C在以AB为直径的O上，CDAB于点D,点E在BD上，,AEAC四边形DEFM是正方形，AM的延长线与O交于点N.证明:FNDE.(B).已知：5,abc22215,abc33347.abc求222222()()()aabbbbccccaa的值.2016年全国初中数学联赛（决赛）试题第4页三、（本题满分25分）(A).已知正实数,,xyz满足：1xyyzzx,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4xyyzzxxyyzzx.(1)求111xyyzzx的值.(2)证明:9()()()8()xyyzzxxyzxyyzzx.(B).如图，在等腰ABC中,5,ABACD为BC边上异于中点的点，点C关于直线AD的对称点为点E,EB的延长线与AD的延长线交于点,F求ADAF的值.2016年全国初中数学联赛（决赛）试题第5页2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试(3月20日上午8:30-9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)1.用x表示不超过x的最大整数，把xx称为x的小数部分.已知123t，a是t的小数部分，b是t的小数部分，则112ba（）.A12.B32.C1.D3【答案】A.【解析】123,132,23t3234,即34,t331.at又23,231,t4233,(4)23,bt111123311,22222(23)31ba故选A.2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有（）.A9种.B10种.C11种.D12种【答案】C.【解析】设购买三种图书的数量分别为,,,xyz则30101520500xyzxyz，即30341002yzxyzx，解得20210yxzx依题意得，,,xyz为自然数（非负整数），故010,xx有11种可能的取值（分别为0,1,2,,9,10)，对于每一个x值，y和z都有唯一的值（自然数）相对应.即不同的购书方案共有11种，故选C.3(A).如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）.A6858.B6860.C9260.D92622016年全国初中数学联赛（决赛）试题第6页【答案】B.【解析】3322(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)kkkkkkkk22(121)k（其中k为非负整数），由22(121)2016k得，9k0,1,2,,8,9k，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为333333333331(1)(31)(53)(1715)(1917)1916860.故选B.3(B）.已知二次函数21(0)yaxbxa的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当ab为整数时，ab（）.A0.B14.C34.D2【答案】B.【解析】依题意知0,0,10,2baaba故0,b且1ba，(1)21abaaa，于是10,a1211a又ab为整数，210,a故1,2ab14ab，故选B.4.已知O的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C，连接AO并延长交O于点E,若8,AB2CD,则BCE的面积为（）.A12.B15.C16.D18【解析】设,OCx则2,OAODxODAB于,C14,2ACCBAB在RtOAC中，222,OCACOA即2224(2),xx解得3x，即3OC（第4题答案图）OC为ABE的中位线，26.BEOCAE是O的直径，90,B114612.22BCESCBBE故选A.5.如图，在四边形ABCD中，090BACBDC，5ABAC,1CD,对角线的交点为M，则DM().A32.B532016年全国初中数学联赛（决赛）试题第7页.C22.D12（第5题答案图）【答案】D.【解析】过点A作AHBD于点,H则AMH～,CMD,AHAMCDCM1,CD,AMAHCM设,AMx则5,5xCMxAHx在RtABM中，2225,BMABAMx则255ABAMxAHBMx25,55xxxx显然0x，化简整理得2255100xx解得5,2x（25x不符合题意，舍去），故5,2CM在RtCDM中，2212DMCMCD,故选D.6.设实数,,xyz满足1,xyz则23Mxyyzxz的最大值为().A12.B23.C34.D1【答案】C.【解析】22(23)(23)(1)34232Mxyyxzxyyxxyxxyyxy222211122332222yxyxxxx222211113322222244yxxxyxx当且仅当1,02xy时，M取等号，故max34M，故选C.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)2016年全国初中数学联赛（决赛）试题第8页1.【1(A)、2（B）】已知ABC的顶点A、C在反比例函数3yx（0x）的图象上，090ACB,030ABC,ABx轴，点B在点A的上方，且6,AB则点C的坐标为.【答案】3,22.【解析】如图，过点C作CDAB于点D.在RtACB中，cos33BCABABC在RtBCD中，33sin,2CDBCB（第1题答案图）9cos,2BDBCB32ADABBD,设33,,,CmAnmn，依题意知0,nm故33,CDnmADmn，于是3323332nmmn解得3223mn，故点C的坐标为3,22.1(B).已知ABC的最大边BC上的高线AD和中线AM恰好把BAC三等分，3AD,则AM.【答案】2.【解析】（第1题答案图1）（第1题答案图2）依题意得BADDAMMAC,090,ADBADC故ABCACB.(1)若ABCACB时，如答案图1所示，ADM≌,ADB1,2BDDMCM又AM平分,DAC1,2ADDMACCM在RtDAC中，即1cos,2DAC060,DAC从而0090,30BACACD.2016年全国初中数学联赛（决赛）试题第9页在RtADC中，tan3tan603,CDADDAC1.DM在RtADM中，222AMADDM.(2)若ABCACB时，如答案图2所示.同理可得2AM.综上所述，2AM.2(A).在四边形ABCD中，BC∥AD,CA平分BCD,O为对角线的交点，,CDAO,BCOD则ABC.【答案】126.【解析】设,OCDADO,CA平分BCD,OCDOCB,BC∥AD,,ADOOBCDAOOCB,(第2题答案图)OCDDAO,ADCD,,CDAOADAO,ADOAODBOCOBC,OCBC,,BCOD,OCODODCOCD,180BOCODCOCDBOCOBCOCB2,2180,解得36,72，72DBCBCD,,BDCDAD18054,2ABDBAD故126ABCABDDBC.3.【3(A)、4(B)】有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是.【答案】1673