九年级圆的基础知识点、经典例题与课后习题

1圆【知识梳理】1.圆的有关概念和性质(1)圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。③弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．．，简称弧．，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆．．。优弧：大于半圆的弧叫做优弧．．劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．．。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)④弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．。⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．．．.⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距．．．.（3）对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数．2（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．（3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．3.点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则①点在圆上===d=r;②点在圆内===dr;③点在圆外===dr.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。4.确定圆的条件:1.理解确定一个圆必须的具备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.2.经过三点作圆要分两种情况:(1)经过同一直线上的三点不能作圆.(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.定理:不在同一直线上的三个点确定一个圆.3.三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形:经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.5.直线与圆的位置关系1.直线和圆相交、相切相离的定义:(1)相交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.(2)相切:直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.2.直线与圆的位置关系的数量特征:设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；①dr===直线L和⊙O相交.②d=r===直线L和⊙O相切.③dr===直线L和⊙O相离.3.切线的总判定定理:经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.4.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.3推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.①垂直于切线;②过切点;③过圆心.5.三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.6.三角形内心的性质:(1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线:连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.6.圆和圆的位置关系.1.外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离:两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切:两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交:两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切:两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含:两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例.2.两圆位置关系的性质与判定:(1)两圆外离===dR+r(2)两圆外切===d=R+r(3)两圆相交===R-rdR+r(R≥r)(4)两圆内切===d=R-r(Rr)(5)两圆内含===dR-r(Rr)3.相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.4.相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦.7.圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特征:①圆内接四边形的对角互补;②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.8.弧长及扇形的面积1.圆周长公式:圆周长C=2R(R表示圆的半径)2.弧长公式:4图5OBCACBAOCBAO弧长180Rnl(R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数)3.扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4.弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.5.圆的面积公式.圆的面积2RS(R表示圆的半径)6.扇形的面积公式:扇形的面积3602RnS扇形(R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数)弓形的面积公式:(如图5)(1)当弓形所含的弧是劣弧时,三角形扇形弓形SSS(2)当弓形所含的弧是优弧时,三角形扇形弓形SSS(3)当弓形所含的弧是半圆时,扇形弓形SRS2215OCBAABCDO例题解析【例题1】如图1，⊙O是ABC的外接圆，AB是直径，若80BOC，则A等于（）A．60ºB．50ºC．40ºD．30º图1图2图3【例题2】如图2，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为10cm，小圆半径为6cm，则弦AB的长为cm．【例题3】如图3，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD＝6，那么BD＝_________．【例题4】如图4已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A=70o，∠c=50o，那么sin∠AEB的值为（）A.21B.33C.22D.23图4【例题5】如图5，半圆的直径10AB，点C在半圆上，6BC．（1）求弦AC的长；（2）若P为AB的中点，PEAB⊥交AC于点E，求PE的长．PBCEA（图8）6CBAOBCAOCABS1S2三、课堂练习1、如图6，在⊙O中，∠ABC=40°，则∠AOC＝度．图6图7图82、如图7，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO=32°，则∠COB的度数等于．3、已知⊙O的直径AB=8cm，C为⊙O上的一点，∠BAC=30º，则BC=______cm.4、如图8，已知在RtABC△中，RtACB，4AB，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为1S，2S，则1S+2S的值等于．5、如图9，⊙O的半径OA＝10cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为___________cm。图96、如图10，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=cm32，（1）求∠BAC的度数；（2）求⊙O的周长77、已知：如图11，⊙O的直径AB与弦CD相交于Ｅ，弧BC＝弧BD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．(1)求证:CD∥BF．(2)连结BC,若⊙O的半径为4,cos∠BCD=34,求线段AD、CD的长．8、如图12，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．(1)求证：直线DE是⊙O的切线；(2)当AB=5，AC=8时，求cosE的值．图12四、经典考题解析1.如图13，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60○，AC＝3，则△ABC的周长是____________.8图13图14图152.“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”．用数学语言可表述为如图14，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（）A．12．5寸B．13寸C．25寸D．26寸3.如图15，已知AB是半圆O的直径，弦AD和BC相交于点P，那么CDAB等于（）A．sin∠BPDB．cos∠BPDC．tan∠BPDD．cot∠BPD4.⊙O的半径是5，AB、CD为⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB=6，CD=8，求AB与CD之间的距离．5.如图16，在⊙M中，弧AB所对的圆心角为1200，已知圆的半径为2cm，并建立如图所示的直角坐标系，点C是y轴与弧AB的交点。（1）求圆心M的坐标；9（2）若点D是弦AB所对优弧上一动点，求四边形ACBD的最大面积图16五、课后训练1.如图17，在⊙O中，弦AB=1.8cm，圆周角∠ACB=30○，则⊙O的直径等于_________cm．图17图18图192.如图18，C是⊙O上一点，O是圆心．若∠C=35°，则∠AOB的度数为（）A．35○B．70○C．105○D．150○3.如图19，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中和∠1相等的角有______4.在半径为1的圆中，弦AB、AC分别是3和2，则∠BAC的度数为多少？5.如图20，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在⊙O上，则∠C的度数是_______.图20图21图22CDABOMYX106.如图21，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（）A．50°B．80°C．100°D．130°7.如图22，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E在CD的延长线上，如果∠BOD=120°，那么∠BCE等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°8.如图，⊙O的直径AB=10，DE⊥AB于点H，AH=2．（1）求DE的长；（2）延长ED到P，过P作⊙O的切线，切点为C，若PC=225，求PD的长．九年级数学圆练习题一、填空题：（21分）1、如图，在⊙O中，弦AB∥OC，115AOC，则BOC=_________2、如图，在⊙O中，AB是直径，15C，则BAD=__________3、如图，点O是ABC的外心，已知40OAB，则ACB=___________OABCDOABCDBOACABCO11（1题图）（2题图）（3题图）（4题图）4、如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧BD，25A，则BOD．（5题图）（6题图）（7题图）