高考二次函数

用心爱心专心1二次函数知识梳理知识点1二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝___ax2＋bx＋c(a≠0)______.②顶点式：f(x)＝__a(x－m)2＋n(a≠0)_______.③零点式：f(x)＝___a(x－x1)(x－x2)(a≠0)________________.点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.①已知三个点的坐标时，宜用一般式.②已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.③已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便.2.二次函数的图象和性质图象函数性质a0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)值域a0a0y∈[4ac－b24a，＋∞)y∈(－∞，4ac－b24a]a0奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数单调性x∈(－∞，－b2a]时递减，x∈[－b2a，＋∞)时递增x∈(－∞，－b2a]时递增，x∈[－b2a，＋∞)时递减图象特点①对称轴：x＝－b2a；用心爱心专心2②顶点：(－b2a，4ac－b24a)3.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝b2－4ac0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|＝|x1－x2|＝Δ|a|.知识点2二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系当0()fx2axbxc的图像与x轴无交点20axbxc无实根20(0)axbxc的解集为或者是R;当0()fx2axbxc的图像与x轴相切20axbxc有两个相等的实根20(0)axbxc的解集为或者是R;当0()fx2axbxc的图像与x轴有两个不同的交点20axbxc有两个不等的实根20(0)axbxc的解集为(,)()或者是(,)(,)。知识点3一元二次方程20axbxc实根分布的充要条件一般地对于含有字母的一元二次方程20axbxc的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令()fx2axbxc（0a）（同理讨论0a的结论）(1)x1α,x2α,则0/(2)()0baf;(2)x1α,x2α,则0/(2)()0baf(3)αx1,αx2,则)2/(0)(0)(0abff(4)x1α,x2(α),则()0()0ff(5）若f(x)=0在区间(α,)内只有一个实根，则有0))(ff点评：（1）讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．用心爱心专心3在讨论过程中，注意应用数形结合的思想.知识点4二次函数02acbxaxy在闭区间qp,上的最值二次函数02acbxaxy在闭区间qp,上的最值一般分为三种情况讨论：（1）若对称轴2bxa在区间左边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较(),()fpfq的大小即可决定函数的最大（小）值；（或利用函数的单调性直接决定函数的最大（小）值）（2）若对称轴2bxa在区间右边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较(),()fpfq的大小即可决定函数的最大（小）值；（3）若对称轴2bxa在区间内，则()2bfa是函数的最小值（0a）或最大值（0a），再比较(),()fpfq的大小决定函数的最大（小）值。点评：（1）两个重要的结论：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值；单调连续函数在闭区间的两个端点处取得最值。（2）二次函数02acbxaxy在闭区间qp,上的最值的讨论的基点是对称轴abx2与区间qp,的相对位置的讨论，尤其当顶点横坐标是字母时，则应抓住讨论的基点进行讨论。特别要注意二次项系数a的符号对抛物线开口及结论的影响。题型一求二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数.变式训练1：已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值；②图象过点(0，-3)，且在该点处的切线与直线2x+y=0平行。用心爱心专心4（1）求f(x)的解析式；（2）求函数g(x)=f(x2)的单调递增区间。题型二二次函数中的单调性例2已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6].(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间.变式训练2：（1）.已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围为__________（2）已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称.(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围.题型三二次函数在闭区间上的最值例3（1）设函数f(x)=x2-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值为g(t)，求g(t)的解析式。用心爱心专心5（2）已知函数21sinsin42ayxax的最大值为2，求a的值。（3）已知31≤a≤1，若f(x)=ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)=M(a)-N(a)，①求g(a)的函数表达式；②判断函数g(a)的单调性，并求出g(a)的最小值。变式训练3：（1）已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a的值.（2）已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________.(3)设x、y是关于m的方程m2－2am+a+6=0的两个实根，则（x－1）2+（y－1）2的最小值是（）A.－1241B.18C.8D.43题型四二次函数中的恒成立的问题例4若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)2x＋m恒成立，求实数m的取值范围.变式训练4：(1)已知2()2(2)4fxxax，用心爱心专心6①如果对一切xR，()0fx恒成立，求实数a的取值范围；②如果对[3,1]x，()0fx恒成立，求实数a的取值范围．(2)已知二次函数2()fxaxx（aR，a0）．如果x[0，1]时，总有|()fx|1．试求a的取值范围．题型五二次函数与方程例5已知二次函数cbxaxxf2)(（1）若abc,且f(1)=0,证明f(x)的图象与x轴有2个交点;（2）在(1)的条件下,是否存在m∈R,使池f(m)=-a成立时,f(m+3)为正数,若存在,证明你的结论,若不存在,说明理由.（3）若对121212,,,()()xxRxxfxfx且,121()=[()+()]2fxfxfx方程有2个不等实根,证明必有一个根属于12(,)xx例6二次函数21yaxx(0)a的零点分别为12,.xx（1）证明12(1)(1)1;xx（2）证明121,1;xx用心爱心专心7（3）若12,xx满足不等式|lg21xx|≤1，试求a的取值范围.例7已知二次函数.92)1(42)(22aaxaxxf（1）若在区间[-1，1]内至少存在一个实数m，使得0)(mf，求实数a的取值范围；（2）若对区间[-1，1]内的一切实数m都有0)(mf，求实数a的取值范围。题型六二次函数与不等式例8已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x．（1）求函数g(x)的解析式；（2）解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；（3）若h(x)＝g(x)－f(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围．变式训练6：设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|.(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；用心爱心专心8一、选择题1.设abc0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()2.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A.m＝－2B.m＝2C.m＝－1D.m＝13.已知函数f(x)＝ax2＋(b＋c)x＋1(a≠0)是偶函数，其定义域为[a－c，b]，则点(a，b)的轨迹是()A.线段B.直线的一部分C.点D.圆锥曲线4.设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是()A.(－∞，0]B.[2，＋∞)C.(－∞，0]∪[2，＋∞)D.[0,2]5.已知函数f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是()A.(0,2)B.(0,8)C.(2,8)D.(－∞，0)6.函数f(x)＝－x2＋(2a－1)|x|＋1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a的取值范围是()A.a23B.12a32C.a12D.a12二、填空题7.若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋2满足f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝______.8.若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝______.9.二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为________.10.若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是_________11.若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的一个零点是1，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是_________.用心爱心专心912.方程x2－mx＋1＝0的两根为α，β，且α0，1β2，则实数m的取值范围是______________.13.若方程x2－11x＋30＋a＝0的两根均大于5，则实数a的取值范围是________.14.已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则y＝f(x)的值域为_________.三、解答题15.是否存在实数a，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由.16.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)，满足条件f(1＋x)＝f(1－x)，且方程f(x)＝x有等根.(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n(mn)，使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[3m,3n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由.