高一数学立体几何基础题题库八

用心爱心专心110号编辑1高一数学立体几何基础题题库二361.有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，将它们一个侧面重叠后，还有几个暴露面?解析：有5个暴露面.如图所示，过V作VS′∥AB，则四边形S′ABV为平行四边形，有∠S′VA=∠VAB=60°，从而ΔS′VA为等边三角形，同理ΔS′VD也是等边三角形，从而ΔS′AD也是等边三角形，得到以ΔVAD为底，以S′与S重合.这表明ΔVAB与ΔVSA共面，ΔVCD与ΔVSD共面，故共有5个暴露面.362.若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是.(只须写出一个可能的值)解析：该题的显著特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求积公式这个知识点，实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的.排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体.对于五条边为2，另一边为1的四面体，参看图1所示，设AD=1，取AD的中点为M，平面BCM把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD⊥面BCM，且VA—BCM=VD—BCM，所以VABCD=31SΔBCM·AD.CM=22DMCD=22)21(2=215.设N是BC的中点，则MN⊥BC，MN=22CNCM=1415=211，从而SΔBCM=21×2×211=211，故VABCD=31×211×1=611.用心爱心专心110号编辑2对于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V=122·)bac)(acb)(cba(222222222，不妨令a=b=2，c=1，则V=122·)441)(414)(144(=122·7=1214.363.湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm的空穴，求该球的半径.解析：设球的半径为R，依题意知截面圆的半径r＝12,球心与截面的距离为d＝R-8，由截面性质得：r2+d2＝R2,即122+(R-8)2＝R2.得R＝13∴该球半径为13cm.364.在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为3米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).解析：由题意知，光线与地面成60°角，设球的阴影部分面积为S，垂直于光线的大圆面积为S′，则Scos30°＝S′,并且S′＝9π，所以S＝63π(米2)365.设棱锥M—ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.解析：∵AB⊥AD，AB⊥MA，∴AB⊥平面MAD，由此，面MAD⊥面AC.记E是AD的中点，用心爱心专心110号编辑3从而ME⊥AD.∴ME⊥平面AC，ME⊥EF设球O是与平面MAD、AC、平面MBC都相切的球.不妨设O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的内心.设球O的半径为r，则r＝MFEMEFSMEF△2设AD＝EF＝a,∵SΔAMD＝1.∴ME＝a2.MF＝22)2(aa,r＝22)2(22aaaa≤2222＝2-1当且仅当a＝a2，即a＝2时，等号成立.∴当AD＝ME＝2时，满足条件的球最大半径为2-1.366.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，期棱长为a.(1)求证BD⊥截面AB1C；(2)求点B到截面AB1C的距离；(3)求BB1与截面AB1C所成的角的余弦值。111:DDBDAC证明面ABCDBDAC同理BD1⊥AB1.∴BD1⊥面ACB1.(2)AB=BC=BB1G为△AB1C的中心.AC=2aAG=36323a22a∴BG=222229396)36(aaaaa=33a(3)∠BB1G为所求cos∠BB1G=363611aaBBGB367.已知Ｐ为ＡＢＣＤ所在平面外一点，Ｍ为ＰＢ的中点，求证：ＰＤ∥平面ＭＡＣ．解析：因M为PB的中点，连BD∩AC于O后，可将PD缩小平移到MO，可见MO为所求作的平行线．证明连ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，连ＭＯ，则ＭＯ为△ＰＢＤ的中位线，∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ，用心爱心专心110号编辑4∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ．368.如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M，N，Ｅ，Ｆ分别是棱Ｂ1Ｃ1，A1D1，Ｄ1Ｄ，ＡＢ的中点．（１）求证：Ａ1Ｅ⊥平面ＡＢＭＮ．（２）平面直线A1E与MF所成的角．解析：（１）要证A1E⊥平面ABMN，只要在平面中找到两条相交直线与A1E都垂直，显然MN与它垂直，这是因为MN⊥平面A1ADD1，另一方面，AN与A1E是否垂直，这是同一个平面中的问题，只要画出平面几何图形，用平几知识解决．（２）为（１）的应用．证明（１）∵AB⊥平面A1ADD1，而Ａ1Ｅ平面A1ADD1，∴AB⊥Ａ1Ｅ．在平面A1ADD1中，A1E⊥AN，∵AN∩AB＝A，∴A1E⊥平面ABMN．解（２）由（１）知A1E⊥平面ABMN，而MF平面ABMN，∴A1E⊥MF，则A1E与MF所成的角为９０°369.如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M为棱CＣ1的中点，AC交BD于点O，求证：A1O⊥平面MBD．解析：要证A1O⊥平面MBD，只要在平面MBD内找到两条相交直线与A1O都垂直，首先想到DB，先观察A1O垂直DB吗？方法１：发现A1O平分DB，想到什么？（△A1DB是否为等腰三角形）∵A1D＝A1B，DO＝OB，∴A1O⊥DB．方法２：A1O⊥DB吗？即DB⊥A1O吗？DB垂直包含A1O的平面吗？（易见DB⊥平面A1ACC1）再观察A1O垂直何直线？DM？BM？因这两条直线与A1O均异面，故难以直接观察，平面MDB中还有何直线？易想到MO，因MO与A1O相交，它们在同一平面内，这是一个平几问题，可画出平几图进行观察．证明取CC1中点M，连结MO，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC1，而A1O平面A1ACC1，∴A1O⊥DB．在矩形A1ACC1中，∵tan∠AA1O=22，tan∠MOC=22，∴∠AA1O=∠MOC，则∠A1OA＋∠MOC＝９０°，∴A1O⊥OM，∵OM∩DB＝O，∴A1O⊥平面MBD．370.点P在线段AB上，且AP∶PB＝１∶２，若A，B到平面α的距离分别为a，b，求点P到平面α的距离．解析：（１）A，B在平面α的同侧时，P平面α的距离为323132baba；（２）A，B在平面α的异侧时，P平面α的距离为32)(3132baba．点评一是画图时，只要画出如右上图的平面图形即可，无需画出空间图形；二是对第（２）种情形，若以平面为“水平面”，在其上方的点高度为正，在其下方的点高度为负，则第（２）种情形的结论，就是将（１）结论中的b改为(－b)，而无需再画另一图形加以求解．371.若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（）（Ａ）有且只有一个（Ｂ）可能存在也可能不存在（Ｃ）有无数多个（Ｄ）一定不存在用心爱心专心110号编辑5（Ｂ）解析：若存在，则a⊥b，而由条件知，a不一定与b垂直．372.在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于（）（Ａ）AC（Ｂ）BD（Ｃ）A1D（Ｄ）A1D1解析：（Ｂ）BD⊥AC，BD⊥CC1，∴BD⊥平面A1ACC1，∴BD⊥CE．373.定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使△ABC的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有（）（Ａ）１个（Ｂ）２个（Ｃ）３个（Ｄ）４个解析：D过P作一个与AB，AC都平行的平面，则它符合要求；设边AB，BC，CA的中点分别为E，F，G，则平面PEF符合要求；同理平面PFG，平面PGE符合要求374.P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三点的距离分别是5，17，13，则P到A点的距离是（）（Ａ）１（Ｂ）２（Ｃ）3（Ｄ）４解析：（A）设AB＝a，BC＝b，PA＝h，则a2+h2=5,b2+h2=13,a2+b2+h2=17,∴h=1．375.线段AB的两个端点A，B到平面α的距离分别为6cm,9cm,P在线段AB上，AP：PB＝１：２，则P到平面α的距离为．解析：７cm或１cm．分A，B在平面α的同侧与异侧两种情况．同侧时，P到平面α的距离为319326＝７（cm），异侧时，P到平面α的距离为319326＝１（cm）．376.△ABC的三个顶点A，B，C到平面α的距离分别为2cm,3cm,4cm,且它们在α的同一侧，则△ABC的重心到平面α的距离为．解析：3cm．3543＝3cm．377.Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝６，BC＝８，EC⊥平面ABC，且EC＝１２，则ED＝．解析：１３．AB＝１０，∴CD＝５，则ED＝22125＝１３．378.如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，求：（１）A1B与平面A1B1CD所成的角；（２）B1B在平面A1C1B所成角的正切值．解析：求线面成角，一定要找准斜线在平面内的射影．（１）先找到斜足A1，再找出B在平面A1B1CD内的射影，即从B向平面A1B1CD作垂线，一定要用心爱心专心110号编辑6证明它是平面A1B1CD的垂线．这里可证BC1⊥平面A1B1CD，O为垂足，∴A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影．（２）若将平面D1D1BB竖直放置在正前方，则A1C1横放在正前方，估计B1B在平面A1C1B内的射影应落在O1B上，这是因为A1C1⊥平面D1DBB1，∴故作B1H⊥O1B交于H时，BH1⊥A1C1，即H为B1在平面A1C1B内的射影．另在求此角大小时，只要求∠B1BO1即可．解析：（１）如图，连结BC1，交B1C于O，连A1O．∵A1B1⊥平面B1BCC1，BC1平面B1BCC1，∴A1B1⊥BC1．又B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面A1B1CD，O为垂足，∴A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影，则∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．sin∠BA1O＝211BABO，∴∠BA1O＝３０°．（２）连结A1C1交B1D1于O1，连BO1，作B1H⊥BO1于H．∵A1C1⊥平面D1DBB1，∴A1C1⊥B1H．又B1H⊥BO1，A1C1∩BO1＝O1，∴B1H⊥平面A1C1B，∴∠B1BO1为B1B与平面A1C1B所成的角，tan∠B1BO=22111BBOB，即B1B与平面A1C1B所成的角的正切值为22．379.Rt△ABC中，∠C＝９０°，BC＝３６，若平面ABC外一点P与平面A，B，C三点等距离，且P到平面ABC的距离为８０，M为AC的中点．（１）求证：PM⊥AC；（２）求P到直线AC的距离；（３）求PM与平面ABC所成角的正切值．解析：点P到△ABC的三个顶点等距离，则P在平面ABC内的射影为△ABC的外心，而△ABC为直角三角形，其外心为斜边的中点．证明（１）∵PA＝PC，M是AC中点，∴PM⊥AC解（２）∵BC＝３６，∴MH＝１８，又PH＝８０，∴PM＝8218802222MHPH，即P到直线AC的距离为８２；（３）∵PM=PB=PC，∴P在平面ABC内的射线为△ABC的外心，∵∠C=90°∴P在平面ABC内的射线为AB的中点H。∵PH⊥平面ABC，∴HM为PM在平面ABC上的射影，则∠PMH为PM与平面ABC所成的角，∴tan∠PMH＝9401880MHPH380.如图，在正四面体ABCD中。各面都是全等的正三角形的四面体，M为AD的中点，求CM与平面BCD所成角的余弦值．解析：要作出CM在平面BCD内的射影，关键是作出M在平面BCD内的射影，而M为AD的中点，故只需观察A在平面