1.1弦振动方程的导出与定解条件

时间：本周三到周六早上8：00-12：001、购买练习册（以小班为单位购买）下午2:00-5:30地点：科技楼602(应用数学系办公室)3、综合成绩：平时成绩:30%（考勤+作业）卷面成绩：70%2、答疑：从第六周开始2典型的数学物理方程的导出1.1弦振动方程与定解条件1.2热传导方程与定解条件1.3拉普拉斯方程与定解条件31.1弦振动方程与定解条件弦振动方程是在18世纪由达朗贝尔等人首先给予系统研究的。它是一大类偏微分方程的典型代表。一、下面先从物理问题出发来导出弦振动方程。给定一根两端固定且拉紧的均匀的柔软的弦，其长度为L。在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动，求弦上各点的运动规律。4将实际问题归结为数学模型时，必须作一些理想化的假设，以便抓住问题的最本质的特征。在考察弦振动问题时的基本假设为：1.弦是均匀的，弦的截面直径与弦的长度相比可以忽略，弦的线密度是常数。2.弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲，弦上各点所受的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长形变与张力的关系服从胡克（Hooke）定律。（即指在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比）53.弦在某一平面内作微小横振动即弦的位置始终在一直线段附近（平衡位置），而弦上各点均在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小振动。（“微小”是指弦振动的幅度及弦上任意点切线的倾角都很小）我们将在上述假定下来导出弦振动方程。先讨论振动过程中不受外力作用时弦振动的情形6为此，选择坐标系如下uxO弦的平衡位置为x轴，两端分别固定在0x和lx处.l),(txu表示弦上横坐标为x的点在时刻t时沿垂直于x轴方向的位移。7为了求弦上任意一点的运动规律，必须对弦上任取一小弦弧uxOl1M2M1x2x21MM进行考察。我们首先证明张力为常数（即与位置与时间无关）。假设小弦弧21MM的弧长为,s8利用弧长公式可知：.,1212xuudxusxxxxuxOl1M2M1x2x由假定，弦只作微小振动，2xu与1相比可以忽略不计，从而.12xxs9uxOl1M2M1x2x这样我们可以认为这段弦在振动过程中并未伸长，因此由胡克定律知道，弦上每一点所受的张力在运动过程中保持不变，即张力与时间无关。接下来,我们只须说明张力与位置x无关10uxOl1M2M1x2x我们分别把在点,1M2M,1T处的张力记作,2T由前所述知他们的方向分别是沿着弦在点,1M2M处的切线方向。1T2T12由假定，弦只作横向振动，因此张力在x轴方向分量的代数和为零，即有11.0coscos1122TT.21TTuxOl1M2M1x2x1T2T12由于小振动：.1cos,1cos,0,02121于是上式可以写成这就是说，张力也不随地点而异，综上所述，张力是常数，以下记作0T12uxOl1M2M1x2x0T0T12现在来导出弦的横振动方程.张力在).sin(sinsinsin1201020TTT,11,2212|tansin|tansinxxxuxu轴方向分量的代数和为由于小振动：u]||[120xxxuxuT13uxOl1M2M1x2x0T0T12应用微分中值定理：).)((|]||[2112220012xxxxxuTxuxuTxx),(21xx另一方面，由于弦段很小，其上每点的加速度相差也不会太大，因此可用其中一点处的加速度|22tu代替，14于是该小段弦的质量与加速度的乘积为uxOl1M2M1x2x0T0T12).(|)(212212xxtuxx).(|)(|122201222xxxuTxxtu,12xx当弦不受外力作用时，应用牛顿第二定律，得消去并令,12xx.22022xuTtu15uxOl1M2M1x2x0T0T12上式化为.,0222222Taxuatu其中这个方程称为弦的自由横振动方程。16uxOl1M2M1x2x0T0T12若还有外力作用到弦上，其方向垂直于x),,(txF),(21xx轴，设其力密度为由于弦段很小，其上各点处的外力近似相等，因此作用在该段上的外力近似地等于).)()(,(2112xxxxtF17uxOl1M2M1x2x0T0T12同样应用牛顿第二定律，得).)(,()(|)(|12122201222xxtFxxxuTxxtu,12xx消去并令,12xx则得弦的强迫横振动方程.),(),(,),,(0222222txFtxfTatxfxuatu其中18弦振动方程中只含有两个自变量x,txt和其中表示时间，表示位置。由于它们描述的是弦的振动或波动现象，因而又称它为一维波动方程。类似地可导出二维波动方程（例如薄膜振动）和三维波动方程（例如电磁波、声波的传播），它们的形式分别为),,,()(2222222tyxfyuxuatu).,,,()(222222222tzyxfzuyuxuatu19二、定解条件对于一个确定的物理过程，仅建立表征该过程的物理量所满足的方程还是不够的，还要附加u一定的条件，这些条件应该恰恰足以说明系统的初始状态以及边界上的物理情况。定解条件包括初始条件和边界条件。初始条件：表征某过程“初始”时刻状态的条件。对于弦振动问题来说，初始条件指的是弦在“初始”时刻的位移和速度。),(|0xut).(|0xtut初始位移初始速度20边界条件：表征某过程的物理量在系统的边界上所满足的物理条件。对于弦振动问题而言，有三种基本类型：1、第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）0x)(1t0x);(|10tux.0|0xu弦的一端的运动规律已知，为例，若以表示其运动规律，则边界条件可以表达为特别的，若端被固定，则相应的边界条件为非齐次边界条件齐次边界条件以212、第二类边界条件（诺伊曼Neumann）0xxuT0).(|20txux.0|0xxux若弦的一端（例如）在垂直于轴的直线上自由滑动，且不受到垂直方向的外力，这种边界成为自由边界.根据边界微元右端的张力沿垂直方向的分量是，得出在自由边界时成立若边界张力沿垂直方向的分量是t的一个已知函数，则相应的边界条件为非齐次边界条件齐次边界条件223、第三类边界条件（鲁宾Robin）lx,0xuT若弦的一端（例如）固定在弹性支承上，并且弹性支承的伸缩符合胡克定律.为则u在端点的值表示支承在该点的伸长。弦对支承拉力的垂直方向分量为若支承的位置,0u由胡克定律得.||0lxlxkuxuT因此在弹性支承的情形，边界条件归结为.0||0lxlxuTkxu23在数学中也可以考虑更普遍的边界条件非齐次边界条件,0|)(lxuxu齐次边界条件0/Tk其中是已知正数.),(|)(3tuxulx)(3t其中是t的已知函数。因此在弹性支承的情形，边界条件归结为24,22222xuatu,0|0xu),(|0xut).(|0xtut.0|lxu定解问题定解问题：由泛定方程和定解条件构成的问题根据定解条件的不同，定解问题又细分为：混合问题或初边值问题；初值问题或柯西（Cauchy）问题；边值问题两端固定的弦的自由振动问题