2015第二十届华杯初赛小学高年级组C卷(含解析)

1/9第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级C卷）（时间:2014年3月14日10:00～11:00）一、选择题(每小题10分，满分60分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内)1．91113151711120203042567234()．A．42B．43C．1153D．21632．如图，有一排间距相同但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直线．这两条直线成45度角．最高的小树高2.8米，最低的小树高1.4米，那么从左向右数第4棵树的高度是()米．A．2.6B．2.4C．2.2D．2.03．春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、丙、丁4位同学有如下的对话：甲：“丙、丁之中至少有1人捐了款”乙：“丁、甲之中至多有1人捐了款”丙：“你们3人中至少有2人捐了款”丁：“你们3人中至多有2人捐了款”己知这4位同学说的都是真话且其中恰有2位同学捐了款，那么这4位同学是()．A．甲、乙B．丙、丁C．甲、丙D．乙、丁4．六位同学数学考试的平均成缋是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的99分，最低的76分，那么按分数从高到低居第三位的同学的分数至少是()．A．94B．95C．96D．975．如图，BH是直角梯形ABCD的高，E为梯形对角线AC上一点；如果DEH、BEH、BCH的面积依次为56、50、40，那么CEH的面积是()．2/9A．32B．34C．35D．366．—个由边长为1的小正方形nn的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩形的4个用上的小正方形不全同色，那么正整数的最大值是()．A．3B．4C．5D．6二、填空题(每小题10分，满分40分．)7．在每个格子中填入1～6中的一个，使得每行、每列及每个23长方形内（粗线框围成)数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和是质数，那么四位数相约华杯是．8．整数n一共有10个约数，这些约数从小到大排列．笫8个是3n．那么整数的最大值是．9．在边长为300厘米的正方形中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是平方厘米，两块阴影部分的周长差是厘米．（取3.14)EDCBA3/910．A地、B地、C地依次分布在同一条公路上，甲、乙、丙三人分别从A地、B地、C地同时出发，匀速向D地行进．当甲在C地追上乙时，甲的速度减少40%；当甲追上丙时，甲的速度再次减少40%；甲追上丙后9分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少25%；如乙追上丙后再行50米，三人同时到D地．已知乙出发时的速度是每分钟60米，那么甲出发时的速度是每分钟米，A、D两地间的路程是米．4/9第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级C卷）参考答案12345ACDBB678910B412316215975；485125；1880参考解析一、选择题(每小题10分，满分60分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内)1．91113151711120203042567234()．A．42B．43C．1153D．2163【考点】速算巧算【难度】☆☆【答案】A【解析】原式1111111111412612042455667788933．2．如图，有一排间距相同但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直线．这两条直线成45度角．最高的小树高2.8米，最低的小树高1.4米，那么从左向右数第4棵树的高度是()米．A．2.6B．2.4C．2.2D．2.0【考点】等差数列【难度】☆☆【答案】C【解析】如右图，2.81.41.4AB(米)，1.4730.6AC(米)因此，第四高的小树为2.80.62.2(米)．3．春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、丙、丁4位同学有如5/9下的对话：甲：“丙、丁之中至少有1人捐了款”乙：“丁、甲之中至多有1人捐了款”丙：“你们3人中至少有2人捐了款”丁：“你们3人中至多有2人捐了款”己知这4位同学说的都是真话且其中恰有2位同学捐了款，那么这4位同学是()．A．甲、乙B．丙、丁C．甲、丙D．乙、丁【考点】逻辑推理【难度】☆☆☆【答案】D【解析】因为恰有2位同学捐了款，据丙所说知甲、乙、丁就至少2人捐款，所以丙没捐款；再据甲所说知丙、丁之中至少有1人捐了款，现在丙没捐款，所以丁一定捐款了；再据乙所说知丁、甲之中至多有1人捐了款，现在丁捐款了，所以甲一定没捐款；恰有2位同学捐了款，即恰有2位同学没捐款，现在甲、丙都没捐款，所以乙、丁都捐款了．4．六位同学数学考试的平均成缋是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的99分，最低的76分，那么按分数从高到低居第三位的同学的分数至少是()．A．94B．95C．96D．97【考点】最值问题【难度】☆☆☆【答案】B【解析】“至少”的含义是:第三位同学的得分若低于这个分数，不论其它同学得多少分，平均分都不会达到92.5分．要想使第三位同学的得分尽可能的少，应使第二位同学的得分尽可能的多；同时，第四位、第五位的同学得分与第4位同学的得分尽可能的接近．由此，可先求出第三位、第四位、第五位同学的平均分，再对三位同学的分数进行调整即可解决问题．由己知，第三、四、五三位同学的平均分是(92.56997698)3282394(分)，故第三位同学的得分至少是941=95．5．如图，BH是直角梯形ABCD的高，E为梯形对角线AC上一点；如果DEH、BEH、BCH的面积依次为56、50、40，那么CEH的面积是()．A．32B．34C．35D．36【考点】几何【难度】☆☆☆6/9【答案】B【解析】因为2DEHAEHABCDABCBCEAEBSSSSSS所以56BCEDEHSS；所以，50405634CEHBEHBCHBCESSSS．6．—个由边长为1的小正方形nn的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩形的4个用上的小正方形不全同色，那么正整数的最大值是()．A．3B．4C．5D．6【考点】最值问题【难度】☆☆☆☆【答案】B【解析】假设5n，笫1行中至少有3个格子颜色相同，不妨设前3格为黑色(如图1)．在这3个黑格下方可以分割为4个横着的31的长方形,若其中有一个中有2个黑格(如图2)，则存在巷图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是黑格；所以这4个横着的31的长方形中，每个至多1个黑格．假设这4个横着的31的长方形中，有两个对应格子颜色都一样（如图3)，则一样存在图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是白格．而31的长方形中至多1个黑格的只有如图4的这4种．如果这4种都存在的话(如图5)，则同样存在图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是白格．矛盾！所以5n．而图6给出了4n的一种构造．所以，正整数n的最大值是4．二、填空题(每小题10分，满分40分．)7．在每个格子中填入1～6中的一个，使得每行、每列及每个23长方形内（粗线框围成)数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和是质数，那么四位数相约华杯是．7/9【考点】数阵图【难度】☆☆☆☆【答案】4123【解析】如下左图，因为3A为质数且4A，所以2A；因为“月”1为质数且“月”2、4，所以“月”6；从而5C；因为“杯”4为质数且“杯”1，所以“杯”3；从而5C；因为3D为合数且2D或6，所以6D；从而“华”2；因为“相”3为质数且“相”2，所以“相”4；因为4B为合数且1D或5，所以5B；从而“约”1；所以，相约华杯4123(如下中图)．实际上其它格子中的数也能唯一确定（如下右图）．8．整数n一共有10个约数，这些约数从小到大排列．笫8个是3n．那么整数的最大值是．【考点】数论【难度】☆☆☆【答案】162【解析】n有10个约数，由于第8个是3n，而第10个必然是n，所以第9个只能是2n．所以n有质因子2和3．所以n可能是423或者432．而最大是432162．9．在边长为300厘米的正方形中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是平方厘米，两块阴影部分的周长差是厘米．（取3.14)41236541236541236556321423614532145326514652314D杯华约相41月3DCBA8/9【考点】几何基本概念【难度】☆☆☆【答案】①15975；②485．【解析】①ABECDEABCDABDABCABSSSSSS阴影阴影正方形扇形扇形半圆22230042300150233750-9000015975②因为ABE为等边三角形，所以60EABEBA，从而30DAECBE；阴影=2300122300100300CDECEDECD的周长弧弧；阴影2300623002350ABEAEBEAB的周长弧弧弧；所以，350(100300)250300485的周长差．10．A地、B地、C地依次分布在同一条公路上，甲、乙、丙三人分别从A地、B地、C地同时出发，匀速向D地行进．当甲在C地追上乙时，甲的速度减少40%；当甲追上丙时，甲的速度再次减少40%；甲追上丙后9分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少25%；如乙追上丙后再行50米，三人同时到D地．已知乙出发时的速度是每分钟60米，那么甲出发时的速度是每分钟米，A、D两地间的路程是米．【考点】行程问题【难度】☆☆☆☆【答案】①125；②1880．【解析】①因为三人同时到D地，所以甲、乙最后的速度和丙相同；所以丙速为60(125%)45(米/分)；EDCBAEDCBA9/9甲减速一次后的速度为45(140%)75(米/分)，甲出发时的速度为75(140%)125(米/分)．②如下图，设甲在E地追上丙，乙在F地追上丙，因为甲、乙出发时的速度比为125:6025:12，所以:25:12ABBC；设AC为25份，则BC为12份；因为乙、丙出发时的速度比为60:454:3，所以:4:3BFCF，从而CF为12(43)336份，AF为253661份．因为甲减速一次后与丙的速度比为75:455:3，而甲原速行AC这25份时，相当于以75米/分行2560%15份；所以15(53)322.5CE份，从而36-22.513.5EF份；而EF是丙9分钟所行的路程，为459405(米），所以每份40513.530(米)，从而30611830AF(米)，所以1830501880AD(米）．FEDCBA