直线的方向向量和平面的法向量

直线的方向向量和平面的法向量前面,我们把向量渐渐成为重要工具平面向量空间向量推广到立体几何问题一、用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置OP在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP来表示，我们把向量OP称为点P的位置向量.⑴点⑵直线aABP空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定.对于直线l上的任一点P,存在实数t使得APtAB一、用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置atAP或⑶平面POba空间中平面的位置可以由内两条相交直线(两个不共线向量)来确定.OPxayb对于平面上的任一点P,存在有序实数对(,)xy,使得一、用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置例1如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BDDNMABCD!B!C!A!法1:1,MNDAMN1平面ABD∴∥∴∥111111111112211(),22MNCNCMCBCCDADDDA∵法2:11111111111112211()()221111111()02222222MNCNCMDADDDBBADAADDBDABADADBDABDDABD∵即可用与线性表示,故与是共面向量,∴MN∥平面A1BD1,DADBMNDB1DAMN如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥，如果⊥，那么向量叫做平面的法向量.nnnn二、平面的法向量(1)定义n(2)理解1.平面的法向量是非零向量;2.一个平面的法向量不是唯一的，其所有法向量都互相平行;二、平面的法向量n3.向量是平面的法向量，若∥，则有nm0nmAn给定一点A和一个向量,那么过点A以向量为法向量的平面是完全确定的.nn二、平面的法向量(3)法向量确定平面的位置二、平面的法向量(4)求法在空间坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)AB,(0,0,2)C,试求平面ABC的一个法向量.⑴设平面的法向量为(,,)nxyz⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)aabcbabc⑶根据法向量的定义建立关于,,xyz的方程组00nanb⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.步骤：A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求证：D1F1111DCBAABCD例2.在正方体中，E、F分别是BB1,，平面ADE证明：设正方体棱长为1，为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：1,DADCDD以，1(1,0,0)(1,1,,)2DADE，11(0,,1)2DF又因为00nDAnDE则由，得所以1DFADE平面ADEnxyz设平面的一个法向量为=(，，)000102xxyz12xyz则=0，不妨取，得01-2n所以=(，，)//1DFn所以设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则三、用方向向量和法向量判定位置关系线面平行l∥u∥v.ukv线线平行l∥mau0au；面面平行∥a∥bakb；注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.线线垂直l⊥m线面垂直l⊥u⊥v.0vua⊥b0ab；a∥uaku；面面垂直⊥设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则三、用方向向量和法向量判定位置关系例1如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BDDNMABCD!B!C!A!法3:建立如图所示的空间直角坐标系.xzy设正方体的棱长为1,则可求得M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).于是11(,0,)22MN设平面A1BD的法向量是则得(,,)nxyz100,nDAnDB且00xzxy(1,1,1)n取x=1,得y=-1,z=-1,∴111(,0,)(1,1,1)0,22MNnMNnMNABD又平面∴⊥∴∥练习一1.设分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.ba,)3,0,0(),1,0,0()3()2,3,2(),2,2,1()2()6,3,6(),2,1,2()1(bababa平行垂直平行练习二1.设分别是平面α,β的法向量,根据下列条件,判断α,β的位置关系.vu,)4,1,3(),5,3,2()3()4,4,2(),2,2,1()2()4,4,6(),5,2,2()1(vuvuvu垂直平行相交练习三1、设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若，则k=；若则k=。2、已知，且的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则m=.3、若的方向向量为(2,1,m),平面的法向量为(1,1/2,2),且，则m=.////llll4-5-84设直线12,ll的方向向量分别为12,ee，平面12,的法向量分别为12,nn，则12//ll12//ee12ee；线面平行12//12//nn12.nn注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.线线平行面面平行一、平行关系：111222(,,),(,,),leabcnabc设直线的方向向量为平面的法向量为则121212//00;lenaabbcc11//l11en110en；课时小结线线垂直线面垂直1212nn120.nn12ll12ee120ee；11l11//en11en；面面垂直二、垂直关系：111222222,,0,//abcabcenabc当时111222(,,),(,,),eabcnabc若则121212//,,.lenenaabbcc设直线12,ll的方向向量分别为12,ee，平面12,的法向量分别为12,nn，则