点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用

第1页点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理在椭圆12222byax（a＞b＞0）中，若直线l与椭圆相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则2200abxykMN.证明：设M、N两点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，则有)2(.1)1(,1222222221221byaxbyax)2()1(，得.02222122221byyaxx.2212121212abxxyyxxyy又.22,21211212xyxyxxyyxxyykMN.22abxykMN同理可证，在椭圆12222aybx（a＞b＞0）中，若直线l与椭圆相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则2200baxykMN.例1设椭圆方程为1422yx，过点)1,0(M的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足1()2OPOAOB，点N的坐标为21,21.当l绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）||NP的最大值和最小值.解：（1）设动点P的坐标为),(yx.由平行四边形法则可知：点P是弦AB的中点.焦点在y上，.1,422ba假设直线l的斜率存在.第2页由22baxykAB得：.41xyxy整理，得：.0422yyx当直线l的斜率不存在时，弦AB的中点P为坐标原点)0,0(O，也满足方程。所求的轨迹方程为.0422yyx（2）配方，得：.141)21(16122yx.4141x127)61(341)21()21()21(||222222xxxyxNP当41x时，41||minNP；当61x时，.621||maxNP例2在直角坐标系xOy中，经过点)2,0(且斜率为k的直线l与椭圆1222yx有两个不同的交点P和Q.（1）求k的取值范围；（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量OQOP与AB共线？如果存在，求k的取值范围；如果不存在，请说明理由.解：（1）直线l的方程为.2kxy由.12,222yxkxy得：.0224)12(22kxxk直线l与椭圆1222yx有两个不同的交点，)12(83222kk＞0.解之得：k＜22或k＞22.k的取值范围是,2222,.（2）在椭圆1222yx中，焦点在x轴上，1,2ba，).1,2(),1,0(),0,2(ABBA设弦PQ的中点为),(00yxM，则).,(100yxOM第3页由平行四边形法则可知：.2OMOQOPOQOP与AB共线，OM与AB共线.1200yx，从而.2200xy由2200abxykPQ得：2122k，.22k由（1）可知22k时，直线l与椭圆没有两个公共点，不存在符合题意的常数k.例3已知椭圆12222byax（a＞b＞0）的左、右焦点分别为1F、2F，离心率22e，右准线方程为2x.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)过点1F的直线l与该椭圆相交于M、N两点，且3262||22NFMF，求直线l的方程.解：（Ⅰ）根据题意，得.2,222caxace1,1,2cba.所求的椭圆方程为1222yx.（Ⅱ）椭圆的焦点为)0,1(1F、)0,1(2F.设直线l被椭圆所截的弦MN的中点为),(yxP.由平行四边形法则知：PFNFMF2222.由3262||22NFMF得：326||2PF..926)1(22yx……………①若直线l的斜率不存在，则xl轴，这时点P与)0,1(1F重合，4|2|||1222FFNFMF，与题设相矛盾，故直线l的斜率存在.由22abxykMN得：.211xyxy).(2122xxy………②②代入①，得.926)(21)1(22xxx整理，得：0174592xx.解之得：317x，或32x.由②可知，317x不合题意.32x，从而31y..11xyk所求的直线l方程为1xy，或1xy.第4页例4已知椭圆1:2222byaxC（a＞b＞0）的离心率为33，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点.当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为22.（1）求ba,的值；（2）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OBOAOP成立？若存在，求出所有点P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由.解：（1）椭圆的右焦点为)0,(cF，直线l的斜率为1时，则其方程为cxy，即0cyx.原点O到l的距离：22222|00|ccd，1c.又33ace，3a.从而2b.3a，2b.（2）椭圆的方程为12322yx.设弦AB的中点为),(yxQ.由OBOAOP可知，点Q是线段OP的中点，点P的坐标为)2,2(yx.123422yx.…………………①若直线l的斜率不存在，则xl轴，这时点Q与)0,1(F重合，)0,2(OP，点P不在椭圆上，故直线l的斜率存在.由22abxykAB得：.321xyxy)(3222xxy.………………………②由①和②解得：42,43yx.当42,43yx时，21xykAB，点P的坐标为)22,23(，直线l的方程为022yx；当42,43yx时，21xykAB，点P的坐标为)22,23(，直线l的方程为022yx.