八数培优提高第3讲-线段的垂直平分线与角平分线

第3讲线段的垂直平分线与角平分线知识要点1、线段垂直平分线性质定理；3、角平分线性质定理；2、线段垂直平分线性质定理的逆定理；4、角平分线性质定理的逆定理.知识点1、线段垂直平分线性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.ACBPMN已知：如图，AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任意一点.求证：PA=PB．已知：如图，AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任意一点.求证：PA=PB．ACBPMN证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°在△PCA和△PCB中AC=BC，∠PCA=∠PCBPC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）；∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）．性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等．PAB∟PBPA分线上P在线段AB的垂直平温馨提示：这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.练习如图：直线MN是线段AB的垂直平分线，点C为垂足，请问在图形中哪些线段相等？哪些角相等？为什么？解：相等线段：AC=BC，PA=PB相等角：∠PCA=∠PCB∠PAC=∠PBCACBPMN1.点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7,则PB=_____.2.如图，在Rt△ABC中，∠B=900，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，已知∠BAE=300，则∠C的度数为_______.7300ACBPMN你能写出下面这个定理的逆命题吗？如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上，即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等．讲授新课知识点2、线段垂直平分线性质定理的逆定理已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．证明：过点P作已知线段AB的垂线PC，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL）∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上．BPAC性质定理的逆命题：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.使用格式：如图,∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).ABP温馨提示：这个结论经常用来证明点在直线上（或直线经过某一点）的根据之一．及时练习：1.如图，EC=ED，FC=FD=；EF与CD有怎样的位置关系？试说明理由．EDCF解：∵EC=ED∴E点在线段BC的垂直平分线上∵FC=FD∴F点在线段BC的垂直平分线上∴EF是线段BC的垂直平分线∴EF垂直平分CD.2.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点。求证：PB=PCPBDCA证明：∵AB=AC∴A在线段BC的垂直平分线上∵BD=CD∴D在线段BC的垂直平分线上∴AD是线段BC的垂直平分线∵P是AD上一点∴PB=PC。观察并回答：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线做完之后，你发现了什么？发现：三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等．ABCP讲授新课命题：三角形三条边的垂直平分线相交于一点．已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点P．求证：点P也在AC的垂直平分线上．证明：连接AP，BP，CP.∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB同理，PB=PC.∴PA=PC.∴点P在线段AB的垂直平分线上，∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于一点.ABCPabc定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。如图,在△ABC中,∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC...ABC练习：A,B,C是新建的三个居民小区，要在到三个小区距离相等的地方修建一所学校，试确定学校的位置.O解：如图，分别作BC、AB,的垂直平分线相较于一点O所以点O就是建校的位置.分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外．例1（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？已知：三角形的一条边a和这边上的高h求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h1ADCBAah()DCBAah1ADCBAah1A这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等．（2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？这样的等腰三角形也有无数多个，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．如图所示，这些三角形不都全等．讲授新课议一议（3）已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．所以满足这一条件的三角形是唯一确定的．你能尝试着用尺规作出这个三角形吗？讲授新课议一议例2已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h．NMDCBahA作法：1．作BC=a；2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；4．连接AB、AC.∴△ABC就是所求作的三角形.做一做例3已知线段a，求作以a为底，以a/2为高的等腰三角形.温馨提示：先分析，作出示意图形，再按要求去作图.这个等腰三角形有什么特征？aP●m已知直线l和l上一点P,利用尺规作l的垂线,使它经过点P。如果点P在直线外呢？交流一下。议一议1.如图，AC=AD，BC=BD，则（）A.CD垂直平分ADB.AB垂直平分CDC.CD平分∠ACBD.以上结论均不对2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形BC及时练习4.①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3.底边AB=a的等腰三角形有_________个，符合条件的顶点C在线段AB的______________上．5.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角∠B的大小为___________无数垂直平分线A20°或70°角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。知识点3、角平分线性质定理已知：如图，∠1=∠2，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E求证：PD=PEABPDE12CO证明:∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°∴在△PDO和△PEO中∠1=∠2,∠PDO=∠PEOOP=OP∴△PDO≌△PEO(AAS)∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)BOAC·DPE1、如图，OC是∠AOB的平分线，∵∴PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB练习使用格式2、如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，求证：CF=EB。DFECBA∵AD平分∠CABDE⊥AB，∠C＝90°∴CD＝DE(角平分线的性质)在Ｒt△FCD和Rt△DBE中CD=DEDF=DB∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)CF=DE证明：3、如图，郓城开发区一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥较近桥头的距离为300米。你能尝试确定工厂的位置吗？并说明理由。北比例尺1：20000这个定理的逆命题该怎么说？它是真命题吗？逆定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上OEBADP证明:在Rt⊿ODP和Rt⊿OEP中,∠ODP=∠OEP=90°OP=OP,PD=PERt⊿OPD≌Rt⊿OPE(HL)∴OP平分∠AOB即点P在∠AOB的角平分线上.知识点4、角平分线性质定理的逆定理逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离___的点,在这个角的上.如图,∵PD=PE,,___(已知),∴点P在∠AOB的平分线上.老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.OCB1A2PDE相等平分线PD⊥OA，PE⊥OB使用格式例已知:如图,在△ABC中,∠BAC=600，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.且DE=DF,求DE的长.ABCDEF解：∵DE⊥AB,DF⊥AC,DE=DF∴点D在∠BAC的平分线上（）又∵∠BAC=600，∴∠EAC=30°在Rt△ADE中，∵AD=10，∴DE=AD=5（）21在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则相等的线段是_______.2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则相等的角是.3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=______，则PE=__________.PE=PF，AE=AF∠BAP=∠CAP，∠APD=∠APE，∠ADP=∠AEP1及时练习（1）（2）（3）4.已知，如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=__________度.5.如图，已知：OM是角POQ的平分线，MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△QOM=3cm2，OP=3cm，则MQ=__________cm.90°26.如下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm7.如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF②△BDF≌△CDE③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是（）A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①、②与③BD互动新授前面我们已经证明了三角形的三条垂直平分线交于一点，三角形的三条角平分线相交于一点吗？到三条边的距离相等吗？我们如何证明？命题:三角形三个角的平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。PDEFABCMN已知：如图，设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足。求证：∠A的角平分线经过点P，且PD=PE=PF．证明：∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等.)同理：PE=PF．∴PD=PF=PE．∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.)即∠A的角平分线经过点PPDEFABCMN定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.如图,在△ABC中,∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC(已知),∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).老师提示:这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一这个交点叫做三角形的内心.ABCPMNDEF三角形的三条角平分线的交点和三角形的三边的垂直平分线的交点一样也有三个不同位置吗？想一想三边垂直平分线三条角平