配方法及其应用(题目)

1/6配方法及其应用初一（）班学号：_______姓名：____________一、配方法：将一个式子变为完全平方式，称为配方，它是完全平方公式的逆用。配方法是一种重要的数学方法，它是恒等变形的重要手段，又是求最大最小值的常用方法，在数学中有广泛的应用。配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简，何时配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方，有时也将其称为“凑配法”．配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝a＋b22＋32b2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]．下面举例说明配方法的应用：一、求字母的值【例1】已知a，b满足a2＋2b2－2ab－2b＋1＝0，求a＋2b的值．分析:可将含x,y的方程化为两个非负数和为0的形式,从而求出两个未知数的值.解：∵a2＋2b2－2ab－2b＋1＝0，∴a2＋b2－2ab＋b2－2b＋1＝0，∴(a－b)2＋(b－1)2＝0.∵(a－b)2≥0，(b－1)2≥0，∴a－b＝0，b－1＝0，∴a＝1，b＝1，∴a＋2b＝1＋2×1＝3，∴a＋2b的值是3.变式练习：1、已知,6134222xxyxyx则x,y的值分别为______.2/62、已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，则3a2＋5b2－4的值为______.3、已知014642222zyxzyx，则x+y+z的值为______.4.已知0966222yxyxyx，则yx的值为______.5、若a、b为有理数，且0442222ababa，则22abba的值为______.6、已知a、b、c满足722ba，122cb，1762ac，则a+b+c的值为______．7、已知0962222222cbcabcba，则abc的值为______.8.已知baabba122，则ba43的值为______.二、证明字母相等【例2】已知a、b、c是△ABC的三边，且满足,0222acbcabcba，判断这个三角形的形状．分析:等式两边乘以2,得,0222222222acbcabcba配方，得,0222222222acaccbcbbaba即.0222accbba由非负数的性质得a-b=0,b-c=0,c-a=0,a=b,b=c,c=a,即a=b=c.故△ABC是等边三角形.变式练习：1、已知22223cbacba，求证：cba2、已知：a4＋b4＋c4＋d4＝4abcd，其中a，b，c，d是正数，求证：a=b=c=d。3/6三、比较大小【例3】若代数式,15,87102222abaNabaM则M-N的值()A.一定是负数B.一定是正数C.一定不是负数D.一定不是正数分析:M-N=)15(1)8710(2222abaaba=1587102222abaaba=.03233412922aaa故选B.变式练习：已知a、b满足等式2022bax，aby24，则x，y的大小关系是（）A．yxB．yxC．yxD．yx四、证明代数式非负【例4】用配方法证明:不论x为任何实数,代数式5.442xx的值恒大于0.分析：本题主要考查利用配方法说明代数式的值恒大于0,说明一个二次三项式恒大于0的方法是通过配方将二次三项式化成“2a+正数”的形式.证明:∵22225.025.4445.44xxxxx,又∵022x,∴05.442xx∴不论x为任何实数,代数式5.442xx的值恒大于0.变式练习：1、求证:不论x、y为何值,多项式25222yxyxyx的值永远大于或等于0。2、小萍说，无论x取何实数，代数式x2＋y2－10x＋8y＋42的值总是正数．你的看法如何？请谈谈你的理由．4/6五、求代数式的最值【例5】利用配方法求7422xxy的最大值或最小值.分析:求最大值或最小值,必须将它们化成cbxay2的形式,然后再判断,当a＞0时,它有最小值c;当a＜0时,它有最大值c.解:91227122742222xxxxxy∵,0122x∴,99122x∴它的最小值是-9.变式练习：1、证明：无论x取何实数值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求它的最大值．2、对关于x的二次三项式x2＋4x＋9进行配方得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n.(1)求m，n的值；(2)当x为何值时x2＋4x＋9有最小值？并求最小值．3、当a，b为何值时，多项式a2＋2ab＋2b2＋6b＋18有最小值？并求出这个最小值．5/6六、证明完全平方数【例6】已知9x2＋18(n－1)x＋9n2＋n是完全平方式，求常数n的值．解：9x2＋18(n－1)x＋9n2＋n＝9[x2＋2(n－1)x]＋9n2＋n＝9[x2＋2(n－1)x＋(n－1)2]－9(n－1)2＋9n2＋n＝[3(x＋n－1)]2－9(n－1)2＋9n2＋n.已知9x2＋18(n－1)x＋9n2＋n是一个完全平方式，∴－9(n－1)2＋9n2＋n＝0，化简，得19n-9＝0，解得n＝9/19.变式练习：1、一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数__________．2、四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？3、求证：五个连续整数的平方和不可能是一个整数的平方.6/65、（1）请观察：25=52，1225=352，112225=3352，1122225=33352…写出表示一般规律的等式，并加以证明．（2）26=52+12，53=72+22，26×53=1378，1378=372+32．任意挑选另外两个类似26、53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗？你能说出其中的道理吗？6、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=42-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数”．（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？