索洛经济增长模型张利风

1本章阅读论文•RMSolow：AcontributiontoTheoryofeconomicgrowth，QuarterlyJournalofEconomics,195621一点数学预备知识31.1预备知识：增长分析中的常用技巧•时间的度量–离散的和连续的两种导数：0limttttKKdKKtdt＝ln()ln()dKKKdtK＝41.1预备知识_增长分析中的常用技巧增长速度的表达式11(,1)ttKtKKgttK()()KKtgKt＝离散连续ln(())Kt5“两边取自然对数并对时间求导”•已知K和L的增长速度，求Y的增长速度1LKY1lnlnlnYKL(1)YKLgggLLKKYY...)1(两边取自然求对数两边对时间求导6练习•假设z=x/y,求z的增长速度•如果z是常数，求证x和y的增长率相等。71.2预备知识_增长分析中的常用技巧•平均增长速度00()(1)()/1ttytgygyty0ln()lnytygt0ln()lnytygt离散连续0()gtytye平均增长速度的几何含义geg1等价性81.3预备知识_增长分析中的常用技巧•翻一番需要的时间0ln()lnytygt0ln()/ln2ytytgg假定你今年年初在银行存了100元，利息是2％，问多少年能够翻一番？10？20？30？40？50？0()gtytye0.6970%gg9经济增长：为何如此重要转引自：Barro,《EconomicGrowth》，2004年10经济增长：一个永恒的话题印度政府是否能采取某些行动使印度的经济像印度尼西亚和埃及的经济那样增长？如果能，那么应该采取哪些政策呢？如果不能，那么到底是哪些‘印度的特性’使其无法这么做呢？这些问题中间所包含的人类福利含义本身就是非常重要的：一旦我们开始思考这些问题，我们就发现很难再去思考其他问题。——罗伯特卢卡斯11不同的增长经历（2003年不变价，美元）国别时期期初人均GDP期末人均GDP增长率（每年）日本1890～20031280美元28620美元2.79％巴西1900～200366374802.38墨西哥1900～200098789502.16中国1900～200361049902.06德国1870～20031859274602.05加拿大1870～20032022297402.04美国1870～20033412375001.82阿根廷1900～20031952109201.69印度1900～200357528801.58英国1870～20034094276501.45印度尼西亚1900～200375932101.41巴基斯坦1900～200362820601.16孟加拉国1900~200353118701.1612•人均实际GDP数据表明各国生活水平差别很大：我国2003年的生活水平与英国1870年的生活水平相当。•最后一栏的增长率序列告诉我们，各国增长率存在较大差别，各国生活水平位次不断改变。日本位次一直在上升（6---3），而英国在下降（1---4）。•这说明：世界上最富的国家并不能保证其将来是最富的，而世界上最贫穷的国家不是注定永远处于贫穷。解读13落后国家经济增长转引自：林毅夫（2007）14经济增长主要问题•为什么国与国之间的收入水平差距如此之大？•为什么某些国家的增长率高于其它国家？•为什么有些国家能够成功向发达国家收敛（如日本和东亚四小龙），而其它大部分国家却不能（如拉丁美洲、非洲国家等）？•发达国家如何维持自身的经济增长？落后国家通过什么政策可以加快经济增长？15经济增长理论：从马尔萨斯到索罗•为什么前现代社会（工业革命以前）实际经济增长率如此之低？•为什么前现代社会人口规模基本稳定？16马尔萨斯陷阱•农业社会最重要的生产要素：土地•土地的特征？•产出增加（经济增长）人口增加资源匮乏战争、瘟疫人口下降产出降低。•前现代社会人口规模基本稳定，经济增长率低下17工业革命以后的经济增长•卡尔多事实（Kaldor，1963）•1.经济增长率稳定在2~3%•2.人均物质资本持续积累•3.资本回报率近乎稳定不变•4.物质资本-产出比例近乎稳定不变•5.劳动和物质资本在国民收入中所占份额近乎稳定不变•6.人均产出增长率在各国间差异巨大18索洛模型•现有几乎对所有有关增长的分析，索罗模型是起点。•主要思想：资本累计是关键因素•关键假设：keyassumptionsinclude••规模报酬不变（Constantreturnstoscale）.••完全竞争Perfectcompetition.••完全信息Completeinformation.••没有外在性Noexternalities.19索罗模型的主要结论长期人均产出惟一来源于技术进步；•实物资本的积累既不能解释不同时间上人均产出的巨大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。•主要缺陷：•模型把收入差异的其他潜在来源或者当作外生，因而无法用模型解释（如技术进步）；或者当作不存在（如资本产生正的外部性）。20•以后所介绍的增长模型都有相同的一般均衡结构：•家庭拥有经济中的所有投入和资产，家庭自主决策。•企业雇佣投入品进行生产。•家庭出售投入品，企业出售产品，形成市场。21二、生产函数•1.投入与产出的函数形式•其中，Y为产量，K为资本，L为劳动力，A为知识或劳动的有效性，t表示时间•注意：AL为有效劳动，此种形式的技术进步为“劳动增进型”或“哈罗德中性))()(),(()(tLtAtKFtY222.新古典生产函数（Neoclassicalproductionfunction）的特性假设•（1）规模报酬不变：•F(cK,cAL)=cF(K,AL)，对于c≥0•这意味着：a经济规模足够大（专业化收益已被穷尽）；b其他因素，如自然资源等不重要。23生产函数的密集形式•令c=1/AL,则•令有效劳动的人均资本k=K/AL，有效劳动人均产量y=Y/AL，则y=f(k),总产量Y=ALf(k)。•这种函数通常称为生产函数的密集形式(intensiveformofproductionfunctions)，或者叫作有效人均生产函数，以表示技术进步的劳动密集型含义。这样，我们便把单位有效劳动的产出表示成为了单位有效劳动的资本存量的函数。),(1)1,(ALKFALALKF24（2）边际产品递减•我们对密集形式的生产函数提出如下假设：•f(k)满足f(0)=0,f’(k)0,f”(k)0，f’(k)是资本的边际产品.•从F(K,AL)=ALf(k)=ALf(K/AL)可知:•有效劳动的边际产品为:KALKFkf),()()(1)(),(kfLAkfLAKLAKF)(')(])()[(')()(2kkfkfALKkALfkfALY25（3）稻田条件(Inadacondition)。)('limkfok0)('limkfk这是经济学家伊纳达(K.Inada)于1964年提出来的。经济含义？26稻田条件条件的意义•稻田条件的意义是说，当生产中的资本份额太少时，资本的边际产出将是很大的；而当资本份额很大时，资本的边际产出非常小。•伊纳达条件的作用在于保证经济的增长道路不会发散。27新古典生产函数——新古典增长理论第一，每种投入的边际产品为正且递减。第二，规模报酬不变。第三，稻田条件：00limlimlimlim0KLKLKLKLFFFF满足这三个条件的生产函数被称为新古典生产函数。因此，索洛增长模型又被称为新古典增长模型。28•通常使用CD生产函数（索洛）：10100AKALQ1替代弹性：：决定规模报酬性质；：资本的产出弹性；：劳动的产出弹性；29•满足索洛模型的CD函数形式为：1(,)();(,1);01'()0,''()0ttttYFKALKALYKyFkALALfkfk30•假设的含义•根据规模报酬不变假设可以得到生产函数的紧凑形式：•y=f(k)•y=Y/AL单位有效劳动的产出•k=K/AL单位有效劳动的资本•稻田条件意味着，在资本存量充分小时资本的边际产出十分大，当资本存量很大时，其会变得很小。其作用在于确保经济的路径不发散。•根据假设1得到：kf(k)0新古典生产函数曲线的斜率即为资本的边际产出。递减的斜率反映了递减的资本边际报酬。0)(0)(0)0(kfkfff(k)sf(k)f(k)sf(k)c31（一）模型的基本假定•资本的增长（投资）：：折旧率（外生）。：储蓄率（外生）；stKtsYtK323．生产投入品的变动（生产要素进化）•要素进化(evolutionofinputs)是指要素数量随着时间的推移而逐渐发生变化。•索洛增长模型的第二类假设是关于要素进化的假设，即对资本、劳动和知识这三类生产要素的投入量如何随时间推移而变动作出假定。33•所考虑的时间因素用连续时间来表示，即模型中的变量都是定义在各个时点上的变量。用t表示时间变量，K(t)、L(t)和A(t)分别表示时刻t的资本、劳动和知识量。假定经济在起始时刻(即t=0)的资本、劳动和知识的数量既定，即：000)0(,)0(,)0(AALLKK34•资本、劳动和知识的存量随时间的变化而变化。•瞬时增长率的定义：dtxdxxxdtdxgxln/ntLtL)()(gtAtA)()(nteLtL)0()(gteAtA)0()()()()(tKtsYtK劳动增长率为n：技术进步率为g：t时劳动力：t时技术存量：产出在消费和投资之间分割，那么储蓄等于投资。储蓄率s为外生且不变，资本折旧率为δ。资本变化＝投资－折旧。35模型：我们的已知和未知•只有一种产品，投入为资本、劳动、知识•没有政府•不考虑就业方面的问题•储蓄率固定•三种生产要素的生产函数•折旧率、技术进步、人口增长率为常数•存在的问题：我们不知道k是怎么变化的？？？36三、平衡增长路径：k的动态学•1．k的动态学•（1）k(t)的动态方程：)()()()(tLtAtKtk先做变换，两边取自然对数。)(ln)(ln)(ln)(lntLtAtKtk37这个方程有什么含义？38模型的动态学)()())(()(tkgntksftk每单位有效劳动的实际投资持平投资：为保持k在现有水平所必须进行的投资。0)(tk0)(tk0)(tkk增加k下降k不变39•（2）稳态均衡•定义“稳态”：各种数量都以不变速度增长的状况，即。当时,即实际投资与持平投资相等。•定义此时的逐步为k*。•那么，经济体会收敛到k*吗？？？。()=0kt0)(tk40模型的动态学k每单位有效劳动平均投资k*ksftkgn41模型的动态学•k的相图（三维空间在平面的投影）k)(tkk*k42趋势定理•在索洛经济中，只要起始时刻的有效人均资本k=k(0)，那么就有。lim()*tktk432.平衡增长路径•现在的问题是，一旦经济进入单位有效劳动的资本不变阶段，即k(t)=k*，经济如何运行？即索洛模型中的四个变量Y,K,L,A如何变化？其实，我们最关心的是总产出Y如何变化的问题。增长；：以速率增长；：以速率等于按固定增长率增长；gnYgnALkKLA)(,44模型的动态学•k=k*时各变量比例的变动：增长。：以速率增长；：以速率：不变；gLKgLYKY///45证明•K的增长率：)()()()()()()()()()()(gntKtKtAtAtLtLtKtKtktk46Y的增长率规模报酬不变之假设。这一假设说明了总产出是按照资本和有效劳动的边际生产力来分配的：•其中是资本的边际生产力，是有效劳动的边际生产力。由于资本与有效劳动以同样的