5梯形的存在性问题解题方法

08常州2808成都2809虹口2409广州2509河北26几何法三部曲：先分类；再画图；后计算．代数法三部曲：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验．几何法与代数法相结合几何法代数法几何法与代数法相结合——又好又快确定目标准确定位设P是直线l上一动点，以点A、B、O、P为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标.08常州28l//AB画图题？计算题？A、B、O三个定点，P是直线l上一动点菱形是唯一的吗？有几种方法确定点P？直角梯形是唯一的吗？怎么确定点P?A、B、O三个定点，P是直线l上一动点直角梯形，怎么求P?mOHPHxxP22)2,(224mm2242mm直角梯形，怎么求P?mOHPHxxP22)2,(224mm2242mm)58,54(,54Pm)512,56(,56Pm数形结合等腰梯形是唯一的吗？怎么确定点P?以B为圆心，OA为半径画圆，与直线l有两个交点等腰梯形是唯一的吗？怎么确定点P?BP=AO等腰梯形，怎样求P?)2,(xxP4OBPA2224)42()2(xx52,221xx.52,221的几何意义是等腰梯形的几何意义是菱形xx等腰梯形，怎样求P?54,52P小结最大的挑战是画图——解题思路就在画图过程中求点P的方法各具特色——问题解决是目的对称性相似比两点间的距离公式抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形是梯形？若存在，求出点P的坐标.08成都28xxxxy4581)10(812第一步确定分类标准与第二步画图相结合过△AOC的三个顶点分别画对边的平行线，分三种情况ACO第三步计算——几何定向，代数定位称关于抛物线的对称轴对与点点PC)3,6(P所以①CP//OA第三步计算——几何定向，代数定位两直线平行，内错角相等)10(81,xxxP设NANCMOMP因此63)10(81xxx那么②OP//CA第三步计算——几何定向，代数定位63)10(81xxx21)10(81x化简，得的几何意义是什么？0x14x于是，得)7,14(P所以②OP//CA第三步计算——几何定向，代数定位两直线平行，内错角相等)10(81,xxxP设NANCMAMP因此4310)10(81xxx那么③PA//OC第三步计算——几何定向，代数定位4310)10(81xxx4381x化简，得的几何意义是什么？10x6x于是，得)12,6(P所以③PA//OC小结代数法很麻烦kOC，得到第一步，求直线AP第二步，求直线抛物线的解析式的解析式直线第三步，解方程组AP小结几何法要注意约分的前提——数形结合思想4310)10(81xxx的几何意义是什么？10x63)10(81xxx的几何意义是什么？0x小结如果不约分,验根的依据？——数形结合思想4310)10(81xxx10,621xx63)10(81xxx0,1421xx小结几何法：数形结合，约分化简代数法：容易理解，计算麻烦kOC，得到第一步，求直线AP第二步，求直线抛物线的解析式的解析式直线第三步，解方程组AP)10(81,xxxP设4310)10(81xxx那么抛物线上是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出点D的坐标.09广州25)2)(21(1232xxxxy先热身解读背景图)2)(21(1232xxxxy由)1,0(),0,2(),0,21(CBA知1,2,21OCOBOA因此OBOCOCOA所以于是△AOC∽△COB从而∠ACB＝90°第一步确定分类标准与第二步画图相结合按照直角梯形的定义，分两种情况BA第三步计算——几何定向，代数定位两直线平行，内错角相等)2)(21(,xxxD设OBOCEAED因此2121)2)(21(xxx那么①AD//CB第三步计算——几何定向，代数定位2121)2)(21(xxx①AD//CB212x化简，得的几何意义是什么？21x25x于是，得)23,25(D所以第三步计算——几何定向，代数定位两直线平行，内错角相等)2)(21(,xxxD设OAOCEBED因此22)2)(21(xxx那么②OP//CA第三步计算——几何定向，代数定位22)2)(21(xxx②OP//CA2)21(x化简，得的几何意义是什么？2x25x于是，得)9,25(D所以小结代数法很麻烦kCB，得到第一步，求直线AD第二步，求直线抛物线的解析式的解析式直线第三步，解方程组AD小结几何法要注意约分的前提——数形结合思想2121)2)(21(xxx22)2)(21(xxx小结如果不约分,验根的依据？——数形结合思想21,2521xx2,2521xx2121)2)(21(xxx22)2)(21(xxx小结2121)2)(21(xxx几何法：数形结合，约分化简kCB，得到第一步，求直线AD第二步，求直线抛物线的解析式的解析式直线第三步，解方程组AD代数法：容易理解，计算麻烦)2)(21(,xxxD设在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值.∠C＝90°，AC＝3，AB＝5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设P、Q运动的时间是t秒（t0）．09河北26在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值.∠C＝90°，AC＝3，AB＝5.点P:C→A→C,全程为6,用时需6秒DE垂直平分PQ设P、Q运动的时间是t秒（t0）．09河北26点Q:A→B,全程为5,用时需5秒先读题再比比画画后筛选逼近直角梯形QBED分两种情况：①DE//QB，②DQ//EB①DE//QB②DQ//EB533costtA533costtA89t815t小结计算如此简单，不会画图难倒好汉！BB直角梯形QBED中，确定的是∠B小结计算如此简单，不会画图难倒好汉！PQDBEACBQPDE选E→作ED→产生Q→产生P→作AC小结计算如此简单，不会画图难倒好汉！PBQDEACBQPDE选E→作ED→产生Q→产生P→作AC小结有没有更简单的解题思路？直角梯形QBED？①∠BQD＝90°②∠BED＝90°小结有没有更简单的解题思路？①∠BQD＝90°②∠BED＝90°∠A是确定的能否在直线上找一点D，使得以点B、C、O、D为顶点的四边形是等腰梯形．若能，请求出点D的坐标.09虹口24先热身BC//OD以点B、C、O、D为顶点的四边形是等腰梯形腰？怎样确定D？画图过程决定解题思路怎样确定D？),(xxD设1,221xx解得腰OC=DB22OCDB由5)3(22xx得画图过程决定解题思路的几何意义是等腰梯形2x腰OC=DB形的几何意义是平行四边1x经典：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形或者平行四边形.画图过程决定解题思路怎样确定D？),(xxD设1,221xx解得对角线OB=DC22OBDC由9)1()2(22xx得画图过程决定解题思路的几何意义是等腰梯形2x对角线OB=DC形的几何意义是平行四边1x小结有没有更简单的方法？对角线垂直且相等07重庆28以点C、D、P、M为顶点的四边形能否成为等腰梯形？若能，请求出点P的坐标.PM//CD先热身——数形结合)32(xxy抛物线xyOB33:直线)32(,xxxM点xxP33,点1,3D点以点C、D、P、M为顶点的四边形是等腰梯形再经典——辅助线''DPCMDPMCyyyy后计算——列方程DPMCyyyy由133)32(3xxx得334,321xx解得重合与的几何意义是DPx3小结有更简单的方法吗？梯形的∠CDP不变△BCD是等边三角形当M落在CB上时，等腰梯形小结有更简单的方法吗？''60tanCMMMOBM上时，落在当)32(333xxx即2)3(33xx整理，得的几何意义是什么？3x313x约分，得小结有更简单的方法吗？一元一次方程约分之后可化为得由2)3(33,60tanxx133)32(3,''xxxDPCM得一元二次方程由小结22,DPCMDPCM得由还有更容易想到的方法22223313)32(33xxxxx所以xxx331)32(3化简，得这不就是yC－yM＝yP－yD吗？细心决定成败！以点A、B、C、D为顶点的四边形能否成为梯形？若能，请求出点D的坐标.07常州28第一步确定分类标准与第二步画图相结合按照梯形的定义，分三种情况画图BAC第三步计算——几何定向，代数定位两直线平行，同位角相等NCNBMAMD因此3313232xx那么①AD//CB第三步计算——几何定向，代数定位①AD//CB的几何意义是什么？1x6x于是，得)33,6(D所以312x化简，得3313232xx第三步计算——几何定向，代数定位两直线平行，同位角相等②CD//ABNANBMCMD因此333132xx那么第三步计算——几何定向，代数定位②OP//CA2121xx，解得022xx整理，得333132xx第三步计算——几何定向，代数定位'.2.121DxDx的几何意义是点的几何意义是点②OP//CA一石二鸟！第三步计算——几何定向，代数定位③BD//CA不存在小结代数法很麻烦kCB，得到第一步，求直线AD第二步，求直线双曲线的解析式的解析式直线第三步，解方程组AD小结几何法要注意约分的前提——数形结合思想3313232xx的几何意义是什么？1x2121xx，解得333132xx小结如果不约分,验根的依据？——数形结合思想3313232xx的几何意义是什么？1x0652xx1,621xx小结几何法：数形结合，约分化简kCB，得到第一步，求直线AD第二步，求直线双曲线的解析式的解析式直线第三步，解方程组AD代数法：容易理解，计算麻烦312x化简，得3313232xx