初三数学圆的知识教案

我们让学习更有效400-686-5000圆.学生版Page1of16知识讲解重点模块一：弦、弧、圆心角、圆周角的关系与垂径定理知识点：1．圆的圆的有关概念：（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径．（2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．（5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．2．圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90°圆周角所对的弦是直径．【经典例题】【例1】以下命题：(1)同圆中等弧对等弦；(2)圆心角相等，它们所对的弧长也相等；(3)三点确定一个圆；(4)平分弦的直径必垂直于这条弦．其中正确的命题的个数是…（）A.1个B.2个C.3个D.4个【例2】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°，则∠C=，∠AOC=．我们让学习更有效400-686-5000圆.学生版Page2of16【例3】P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最长弦长为_______，最短弦长为________；【例4】⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．这两条平行弦AB，CD之间的距离为．【例5】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于()．A．69°B．42°C．48°D．38°【例6】如图⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为2cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角＝．αCDBA【例7】已知：如图，△ABC，试用直尺和圆规画出过A，B，C三点的⊙O．我们让学习更有效400-686-5000圆.学生版Page3of16【例8】已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．(1)求证：∠AOC=∠BOD；(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．【例9】已知：如图，△ABC内接于⊙O，AM平分∠BAC交⊙O于点M，AD⊥BC于D．求证：∠MAO=∠MAD．【例10】已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°，B是AD的中点．(1)在CD上求作一点P，使得AP＋PB最短；(2)若CD=4cm，求AP＋PB的最小值．我们让学习更有效400-686-5000圆.学生版Page4of16【例11】在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若方程220bcxaxbc有两个相等的实数根，（1）证明：△ABC是直角三角形；（2）若△ABC的斜边AB上存在一点D，使过直角顶点C和D的⊙O交BC于E，交AC于F，且△CED≌△AFD（C、E、D依次对应于A、F、D），求证：△ABC是等腰直角三角形。OFEDCBA【例12】如图O为ABC△的外接圆，且C为AB中点，D为BC上的一点，CEAD于E，求证:AEBDDE.EODCBA我们让学习更有效400-686-5000圆.学生版Page5of16【例13】如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．【例14】(1)已知：如图1，ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PAPBPC(2)如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证:2PAPCPB(3)如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PAPBPC、、三者之间有何数量关系，并给予证明.OCABPPODABCOPFEDCBA我们让学习更有效400-686-5000圆.学生版Page6of16重点模块二：与圆有关的位置关系知识点：1、如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d，那么：直线l和⊙O相交；直线l和⊙O相切；直线l和⊙O相离.2、切线的判定定理：.3、切线的性质定理：.4、切线长定理：.5、“心”图形“心”的确定“心”的性质“心”的位置外心内心圆与圆的位置关系：如果两圆的半径分别为R、r，圆心距为d，则相切：外切、内切；相离：外离、内含；相交；【经典例题】【例15】如图，直线AB切⊙O于点A，点C、D在⊙O上．试探求：（1）当AD为⊙O的直径时，如图①，∠D与∠CAB的大小关系如何？并说明理由．（2）当AD不为⊙O的直径时，如图②，∠D与∠CAB的大小关系同②一样吗？为什么？我们让学习更有效400-686-5000圆.学生版Page7of16【变式】已知：如图，△ABC内接于⊙O，过A点作直线DE，当∠BAE=∠C时，试确定直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．【例16】已知：如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．(1)求证：AB=AC；(2)求证：DE为⊙O的切线；(3)若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．【例17】在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，DB的长为半径画圆。求证：（1）AC是⊙O的切线；（2）AB+EB=ACECABD我们让学习更有效400-686-5000圆.学生版Page8of16【例18】已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点．(1)若∠P=40°，求∠COD；(2)若PA=10cm，求△PCD的周长．【例19】已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．(1)若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；(2)若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．【例20】已知：如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC=30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F．(1)判断△DCE的形状并说明理由；(2)设⊙O的半径为1，且213OF，求证△DCE≌△OCB．我们让学习更有效400-686-5000圆.学生版Page9of16【例21】已知：如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．(1)求证：AT平分∠BAC；(2)若,3,2TCAD求⊙O的半径．【例22】两圆的圆心坐标分别是（3，0）和（0，1），它们的半径分别是3和5，则这两个圆的位置关系时（）A.相交B.外离C.外切D.内切【例23】如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且OPAB//．若阴影部分的面积为9，则弦AB的长为（）A．3B．4C．6D．9【例24】已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于A点，直线l与⊙O1、⊙O2分别切于B，C点，若⊙O1的半径r1=2cm，⊙O2的半径r2=3cm．求BC的长．BACPO我们让学习更有效400-686-5000圆.学生版Page10of16【例25】如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，E是CB延长线上一点，且∠BAE=∠C.（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若EB=AB，54Ecos，AE=24，求EB的长及⊙O的半径.【例26】如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，CA是⊙O的切线，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F．（1）求证：CE=CF；（2）若sinB=35，求DF∶CF的值．【例27】如图，AC为⊙O的直径，AC=4，B、D分别在AC两侧的圆上，∠BAD=60°，BD与AC的交点为E．(1)求点O到BD的距离及∠OBD的度数；(2)若DE=2BE，求cosOED的值和CD的长．ABEODC我们让学习更有效400-686-5000圆.学生版Page11of16【例28】如图①，1O，2O，3O，4O为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是；如图②，1O，2O，3O，4O，5O为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是．【例29】如图，在直角坐标系xOy中，点A，点B分别在x轴的正半轴上，y轴的正半轴上，以OB为直径的⊙C交AB于点D，DE与⊙C相切交x轴于点E，且123OAcm，30OAB。（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；（2）过点B作BGEC于F，交x轴于点G，求BD的长及点F的坐标；（3）设点P从A开始沿ABG的方向以4cm/s的速度匀速向点G移动，点Q同时从点A开始沿AG匀速向点G移动，当四边形CBPQ为平行四边形时，求点Q的移动速度。yxOEDCBA1o2o3o4oCBDA①②1o2o3o4o5oABCED我们让学习更有效400-686-5000圆.学生版Page12of16重点模块三：与圆有关的计算问题知识点：1.正多边形与圆2.弧长及扇形的面积⑴弧长公式；⑵扇形面积公式.3.圆锥的侧面积和全面积:圆锥侧面积计算公式.【经典例题】【例30】如图所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为。【例31】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为()．A．π425B．π825C．π1625D．π3225【例32】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、AB为直径画半圆，则图中的阴影部分面积为_____________（结果保留）CBA我们让学习更有效400-686-5000圆.学生版Page13of16【例33】已知：如图，在边长为a的正△ABC中，分别以A，B，C点为圆心，a21长为半径作DE，EF，FD，求阴影部分的面积．【例34】已知：如图，半圆O的直径AB=12cm，点C，D是这个半圆的三等分点．求∠CAD的度数及弦AC，AD和CD围成的图形(图中阴影部分)的面积S．【例35】矩形ABCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置1111ABCD时（如图所示），则顶点A所经过的路线长有多长？【变式】如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置上，设BC＝1，AC＝3，则顶点A运动到A2的位置时，点A经过的路线有多长？点A经过的路线与直线l所围成的图形的面积有多大？A2A1B2C2CBA我们让学习更有效400-686-5000圆.学生版Page14of16【例36】如图，等腰Rt△ABC的直角边长为4，以A为圆心，直角边AB为半径作弧BC1，交斜边AC于点C1，ABBC11于点B1，设弧BC1，11BC，B1B围成的阴影部分的面积为S1，然后以A为圆心，AB1为半径作弧B1C2，交斜边AC于点C2，ABBC22于点B2，设弧B1C2，22BC，B2B1围成的阴影部分的面积为S2，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积S3=.【例37】如图，有一圆心角为120o、半径长为6cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（）A．24cmB．35cmC．62cmD．32cm【例38】如图，ABC是一个圆锥的左视