初三教案一元二次方程

一元二次方程解一元二次方程的方法：①配方法即将其变为0)(2mx的形式②公式法aacbbx242③分解因式法把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方；⑤把方程转化成0)(2mx的形式；⑥两边开方求其根。根与系数的关系：当b2-4ac0时，方程有两个不等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac0时，方程无实数根。如果一元二次方程02cbxax的两根分别为x1、x2，则有：acxxabxx2121。一元二次方程的根与系数的关系的作用：（1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称式的值，特别注意以下公式：①2122122212)(xxxxxx②21212111xxxxxx③212212214)()(xxxxxx④21221214)(||xxxxxx⑤||22)(|)||(|2121221221xxxxxxxx⑥)(3)(21213213231xxxxxxxx⑦其他能用21xx或21xx表达的代数式。（3）已知方程的两根x1、x2，可以构造一元二次方程：0)(21221xxxxxx（4）已知两数x1、x2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程0)(21221xxxxxx的根在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。处理问题的过程可以进一步概括为：解答检验求解方程抽象分析问题题型讲解例：若0515285222xxxx，则1522xx的值为．解方程121)10)(9(1)2)(1(1)1(1)1(1xxxxxxxx得．例1：设m是满足不等式1≤m≤50的正整数，关于x的二次方程（x-2）2+（a-m）2=2mx+a2-2am的两根都是正整数，求m的值．考点：含字母系数的一元二次方程．分析：首先把方程进行整理，根据方程有两个正整数根，说明根的判别式△=b2-4ac≥0，由此可以求出m的取值范围，然后根据方程有两个正整数根确定m的值．解答：解：将方程整理得：x2-（2m+4）x+m2+4=0，∴x=2(m+2)±4m2=2+m±2m，∵x，m均是整数且1≤m≤50，∴m为完全平方数即可，∴m=1、4、9、16、25、36、49．点评：此题主要考查了含字母系数的一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．正确确定m的范围，并进行正确的检验是解决本题的关键．2.求使关于x的二次方程（a+1）x2-（a2+1）x+2a3-6=0有整数根的所有整数a．考点：一元二次方程的整数根与有理根．专题：计算题．分析：由二次方程（a+1）x2-（a2+1）x+2a3-6=0有整数根的所有整数a，可知-2＜a＜2，把a值代入原方程讨论可得a=0，1时，原方程有整数根．解答：解：当a=-1时，原方程化为-2x-2-6=0，此时x=-4；当a≠-1时，判别式△=（a2+1）2-4（a+1）（2a3-6）=-7a4-8a3+2a2+24a+25，若a≤-2，则△=-a2（7a2+8a-2）+24（a+1）+1＜24（a+1）+1＜0，方程无根；若a≥2，则△=-8a（a2-3）-a2（7a2-2）+25＜-a2（7a2-2）+25＜0，方程亦无根；故-2＜a＜2，又因为a为整数，则a只能取-1，0，1，而a≠-1，则a在0，1中取值：当a=0时，方程可化为x2-x-6=0，解得x1=3，x2=-2；当a=1时，方程可化为x2-x-2=0，解得x1=2，x2=-1．综上所述，关于x的二次方程（a+1）x2-（a2+1）x+2a3-6=0，当a=0，1时，方程有整数根．点评：本题考查了一元二次方程的整数根和有理根，以及讨论在解题的重要性，同学们应熟练掌握．3.x2-5|x|-6=0．考点：含绝对值符号的一元二次方程．专题：分类讨论．分析：由于x的符号不能确定，故应分x≥0和x＜0两种情况进行讨论．解答：解：x≥0时，x2-5x-6=0，即（x-6）（x+1）=0，∴x-6=0或x+1=0，∴x1=6，x2=-1，∵x≥0，∴x1=6当x＜0时，x2+5x-6=0，即（x-1）（x+6）=0，∴x3=1，x4=-6，∴x＜0，∴x4=-6综上所述x=6或x=-6．点评：本题考查的是含绝对值符号的一元二次方程，在解答此类题目时一定要分类讨论，否则造成漏解．4.方程|x2-3x+2|+|x2+2x-3|=11的所有实数根之和为-710-710．考点：含绝对值符号的一元二次方程．专题：分类讨论；方程思想．分析：先分x＜-3；-3≤x≤1；1≤x≤2；x＞2四种情况讨论求得方程的解，再相加即可求解．解答：解：分段讨论知（1）x＜-3x2-3x+2+x2+2x-3=2x2-x-1=11，解得x=1-974；（2）-3≤x≤1x2-3x+2-x2-2x+3=-5x+5=11，解得x=-65；（3）1≤x≤2-x2+3x-2+x2+2x-3=5x-5=11，解得x=165（舍去）；（4）x＞2x2-3x+2+x2+2x-3=2x2-x-1=11，解得x=1+974．∴1-974+（-65）+1+974=-710．故答案为：-710．点评：本题考查了含绝对值符号的一元二次方程，解题的关键是分情况讨论去掉绝对值符号求得方程的解．5.已知关于x的一元二次方程x2-2x-a2-a=0（a＞0）．（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；（2）若对于a=1，2，3，…，2010，2011时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1，α2和β2，α3和β3，…，α2010和β2010，α2011和β2011，试求(1α1+1α2+1α3+…+1α2010+1α2011)+(1β1+1β2+1β3+…+1β2010+1β2011)的值．考点：一元二次方程根的分布；根与系数的关系．专题：计算题．分析：（1）设方程的两根是α1，β1，得出α1+β1=2，α1•β1=-a2-a，代入（α1-2）（β1-2），=α1β1-2（α1+β1）+4，求出其结果是-a2-a，求出-a2-a＜0即可；（2）得出α1+β1=2，α1•β1=-a2-a=-a（a+1），解答：（1）证明：设方程的两根是α1，β1，则α1+β1=2，α1•β1=-a2-a，∴（α1-2）（β1-2）=α1β1-2（α1+β1）+4=-a2-a-2×2+4=-a2-a，∵a＞0，∴-a2-a＜0，即这个方程的一根大于2，一根小于2．（2）解：∵α1+β1=2，α1•β1=-a2-a=-a（a+1）∵对于a=1，2，3，…，2010，2011时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1，α2和β2，α3和β3，…，α2010和β2010，α2011和β2011，∴(1α1+1α2+1α3+…+1α2010+1α2011)+(1β1+1β2+1β3+…+1β2010+1β2011)=1α1+1β1+1α2+1β2+1α3+1β3+…+1α2010+1β2010+1α2011+1β2011=α1+β1α1β1+α2+β2α2β2+α3+β3α3β3+…+α2011+β2011α2011β2011=2-1×2+2-2×3+2-3×4+…+2-2011×2012=-2×（11×2+12×3+13×4+…+12011×2012）=-2×（1-12+12-13+13-14+…[phone]）=-2×（1-12012）=-20111006．点评：本题考查了根与系数的应用，解（1）小题的关键是看看式子（α1-2）（β1-2）结果的符号，解（2）小题的关键是找出所求的式子的计算规律，本题题型较好，但有一定的难度6.已知实数a.b分别满足4/a4-2/a2-3=0,b4+b2-3=0，求b4+4/a4的值。7.几何巩固例：在三角形ABC中，ACB=90。在AC，BC边上分别取N.M两点，使AN=MC，BM=AC，连接AM，BN交点为P，求BPM=45。PBCAMN