初三一元二次方程教案1

第1页共10页初三数学一元二次方程1.一元二次方程的定义)0≠a(0cbxax2=++是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。0ax0cax0bxax222==+=+；；这三个方程都是一元二次方程。求根公式为()0≥ac4ba2ac4bbx22±=一般式：)0≠a(0cbxax2=++。a是二次项系数；b是一次项系数；c是常数项，注意的是系数连同符号的概念。这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？1、ac4bΔ2—＝当Δ0时方程有2个不相等的实数根；2、当Δ＝0时方程有两个相等的实数根；3、当Δ0时方程无实数根.4、当Δ≥0时方程有两个实数根（方程有实数根）;5、ac0时方程必有解,且有两个不相等的实数根;6、c=0，即缺常数项时，方程有2个不相等的实数根，且有一个根是0.另一个根为ab7、当a、b、c是有理数，且方程中的Δ是一个完全平方式时，这时的一元二次方程有有理数实数根。8若1x,2x是一元二次方程)0≠a(0cbxax2=++的两个实数根，即①abxx21=+acxx21=•（注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足Δ≥0这个条件，否则解题就会出错。）练习1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2-5x=0A．1个B．2个C．3个D．4个2、方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6B．2，-3，18C．2，-3，6D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1B．p0C．p≠0D．p为任意实数—第2页共10页4、方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．5．一元二次方程的一般形式是__________．6．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．7．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=3x-（x+1）是一元二次方程？8．关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？2.一元二次方程解法解法一）用方程根的定义解：解法二）用根系数关系解：解法三）用“一元二次方程)0≠a(0cbxax2=++可变形为()()0xxxxa21=++的形式”比较对应系数求解：解法四）用十字相乘法解一元二次方程（一元二次方程的左边是一个二次三项式右边是0，这样的题型若能用十字相乘法解题的、要尽量使用十字相乘法、因为他比用公式法解题方便得多）。十字相乘法的口诀是：右竖乘等于常数项，左竖乘等于二次项系数，对角积之和等于一次项系数。三个条件都符合，结论添字母横写（看成是关于谁的二次三项式就添谁）。解下面一道一元二次方程x2-110x+2925=01-651-45-65-45=-1103.Δ与根的关系的综合运用（ax2+bx+c=0,a≠0）ax2+bx+c=0,(a0)Δ0有两个不相等的实数根C0两根同号b0有两个负根不相等b0有两个正根不相等C0两根异号b0负根绝对值较大(正根绝对值较小)b0正根绝对值较大(负根绝对值较小)b=0两根绝对值相等C=0b0一根为0另一个根为负根第3页共10页一根为零b0一根为0另一个根为正根Δ=0有两个相等的实数根b0有两个相等的负根b0有两个相等的正根b=0有两个相等的根都为0“Δ”,“x1.x2”，“x1+x2”与“0”的关系综合判断一元二次方程根的情况Δ01有两个不相等的负实数根x1.x20x1+x20Δ02有两个不相等的正实数根x1.x20x1+x20Δ03负根的绝对值大于正根的绝对值x1.x20x1+x20Δ04两个异号根正的绝对值较大x1.x20x1+x20Δ05两根异号，但绝对值相等x1.x20x1+x2＝0Δ06一个负根，一个零根x1.x2＝0x1+x207一个正根，一个零根x1.x2=0x1+x20Δ＝08有两个相等的负根x1.x20x1+x20Δ＝09有两个相等的正根x1.x20x1+x20Δ＝0Δ＝0第4页共10页10有两个相的等的根都为零x1.x2＝0x1+x2＝0Δ011两根互为倒数x1.x2＝112两根互为相反数Δ0x1+x2＝013两根异号Δ014两根同号Δ≥0x1.x20x1.x2015有一根为零Δ016有一根为1Δ0x1.x2＝0a+b+c=017有一根为-1Δ0a-b+c=0注意：无实数根则Δ0必成立18方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的解为()0≥ac4ba2ac4bbx22±=19方程ax2+bx+c＝0(a≠0)若Δ≥0则必有：abxx21=+acxx21=•练习1．方程x（x-1）=2的两根为（）．A．x1=0，x2=1B．x1=0，x2=-1C．x1=1，x2=2D．x1=-1，x2=22．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（）．A．x1=b，x2=aB．x1=b，x2=1aC．x1=a，x2=1aD．x1=a2，x2=b23．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则acbb=（）．A．1B．-1C．0D．24．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．5．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．6．方程（x+1）2+2x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．7．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．第5页共10页4.“归旧”思想在解一元二次方程中的应用“归旧”就是把待解决的问题，通过某种转化，归结为能用已掌握的旧知识去解决的问题。一元二次方程有直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法，这几种解法，都是用“归旧”的数学思想方法求解。下面就各种方法分别加以说明。配方法：最适用于二次项系数为1，一次项系数为偶数的形式的一元二次方程，形如x2+2kx+m=0（当然一般的形如ax2+bx+c=0a≠0也可用,但不一定是最合适的方法）。这类方程我们可以通过已掌握的配方的手段，把原方程“归旧”为上述形如（mx+n）2=p(m≠0,p≥0)的方程，然后再用直接开平方法的方法求解。练习1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．A．（x-2）2+3B．（x-2）2-3C．（x+2）2+3D．（x+2）2-32．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．A．x2-8x+（-4）2=31B．x2-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1D．x2-4x+4=-113．配方法解方程2x2-43x-2=0应把它先变形为（）．A．（x-13）2=89B．（x-23）2=0C．（x-13）2=89D．（x-13）2=1094．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式则m等于（）．A．1B．-1C．1或9D．-1或95．方程x2+4x-5=0的解是________．6．代数式2221xxx的值为0，则x的值为________．直接开平方法：适用于等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负实数的形式，形如（mx+n）2=p(m≠0,p≥0)的方程。我们可以利用平方根的定义“归旧”为两个一元一次方程去解，即有一元一次方程为mx+n=±p，分别解这两个一元一次方程就得到原方程的两个根。第6页共10页因式分解法：这种方法平时用的最多，最适用于等式左边能分解成几个一次因式的积、而右边必须为零的形式的一元二次方程方程。这类方程我们可以通过已掌握的因式分解的手段，把原方程转化为形如(a1x+c1)(a2x+c2)=0方程，从而“归旧”为a1x+c1=0、a2x+c2=0，再分别求出这两个一元一次方程的根，就得到原一元二次方程的两个解。练习1．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=25，x2=35C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x两边同除以x，得x=12．下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个3．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（）．A．-12B．-1C．12D．14．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．5．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．6．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．公式法：公式法的实质就是配方法，只不过在解题时省去了配方的过程，所以解法简单。但计算量较大，只有在不便运用上述三种方法，且各项系数的绝对值为较小的数值情况下才考虑使用该方法。练习1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（）．A．x=362B．x=362C．x=3232D．x=32322．方程2x2+43x+62=0的根是（）．A．x1=2，x2=3B．x1=6，x2=2C．x1=22，x2=2D．x1=x2=-6第7页共10页3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（）．A．4B．-2C．4或-2D．-4或24．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．5．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．6．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．初三数学一元二次方程练习一、选择题1.下列方程中不一定是一元二次方程的是()A.(a-3)x2=8(a≠3)B.ax2+bx+c=0C.(x+3)(x-2)=x+5D.2332057xx2下列方程中,常数项为零的是()A.x2+x=1B.2x2-x-12=12；C.2(x2-1)=3(x-1)D.2(x2+1)=x+23.一元二次方程2x2-3x+1=0化为(x+a)2=b的形式,正确的是()A.23162x;B.2312416x;C.231416x;D.以上都不对4.关于x的一元二次方程22110axxa的一个根是0，则a值为（）A、1B、1C、1或1D、125.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的一根,则这个三角形的周长为()A.11B.17C.17或19D.196.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870xx的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）A、3B、3C、6D、97.使分式2561xxx的值等于零的x是()A.6B.-1或6C.-1D.-68.若关于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有实根,则k的取值范围是()第8页共10页A.k-74B.k≥-74且k≠0C.k≥-74D.k74且k≠09.已知方程22xx，则下列说中，正确的是（）（A）方程两根和是1（B）方程两根积是2（C）方程两根和是1（D）方程两根积比两根和大210.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元,如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为()A.200(1+x)2=1000B.200+200×2x=1000C.200+200×3x=1000D