第1讲：整式的恒等变形

第一讲：整式的恒等变形page1of9第一讲整式的恒等变形【专题知识点概述】把一个代数式变换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。代数式的恒等变形是数学的基础知识，它在化简、求值、证明恒等式等问题中，有着广泛的应用。通过代数式的恒等变形，对学生准确理解有关概念，掌握有关法则，提高运算能力、逻辑推理能力，增强解题的灵活性，都有重要的意义。整式的恒等变形是代数式恒等变形的一种，它既是代数式恒等变形的基础，又具有独特的复杂性和技巧性。整式的恒等变形涉及到的主要内容有：整式的各种运算性质和法则；各种乘法公式的正、逆应用，变形应用；因式分解的有关知识等。其中主要乘法公式除教科书上的平方差公式、完全平方公式、立方和和立方差公式外，有时还用到下面几个：（1）3223333)(babbaaba（2）))((3222333cabcabcbacbaabccba（3）))((1221nnnnnnbabbaababa下面介绍整式恒等变形的一些常用方法和特殊技巧：一、运用运算性质和法则例1.设x、y、z都是整数，且11整除7x+2y-5z，求证：11整除3x-7y+12z。第一讲：整式的恒等变形page2of9例2.已知dcxbxaxy35，当x=0时，y=-3；当x=-5时，y=9，求x=5时y的值。例3.若a、b、c都是自然数，且满足2345dcba、,且c-a=19，求d-b的值。二、灵活应用乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。例4.计算1)12()12)(12)(12(3242例5.已知整数a、b、（a-b）都不是3的倍数，试证33ba是9的倍数。第一讲：整式的恒等变形page3of9例6.当：时，试求下列各式的值且1a0,cba222cb(1)bc+ca+ab;(2)444cba例7.试求除的余数被1392781243xxxxxxx。例8.求证：))((3222333cabcabcbacbaabccba本公式在整式的恒等变形中，经常使用的是“若a+b+c=0,则abccba3333”和其逆命题。例如：设a、b、c为有理数，且a+b+c=0,0333cba.证明对于任何正奇数n，都有0nnncba。第一讲：整式的恒等变形page4of9三.配方法配方法是一种重要的数学方法，配方法在恒等变形中应用十分广泛。在配方时，还常常要用到拆项或者补项的技巧。例9.证明：当a、b取任意有理数时，多项式116222baba的值总是正数。例10.若cbacbacba::)32()(142222，求。例11.已知a、b、c、d为四边形的四条边，且abcddcba44444求证：此四边形是菱形。第一讲：整式的恒等变形page5of9例12.解方程0441212322222yyyxyxx。例13.若a、b、c、d是整数，且2222dcnbam，，求证mn可以表示成两个整数的平方和。四、应用因式分解应用因式分解来进行整式的恒等变形，也是一种常用的方法。例14.在三角形ABC中，010616222bcabcba（a、b、c是三角形的三条边），求证：a+c=2b。例15.已知cabcabcbacba222222，试求(a-b)(b-c)(c-a)的值。第一讲：整式的恒等变形page6of9例16.已知0cba，求适合等式1998cbacacbababc的整数a、b、c的值。例17.解方程7)32)(158()2716(2xxx。五、代换法所谓代换法，就是用字母替代或者等量替换的方法，有时应用的换元法就是其中的一种。例18.已知a、b、c、d适合3333dcbadcba，。求证：2011201120112011dcba。第一讲：整式的恒等变形page7of9例19.证明：)2)(2(2b3)2()2()2(333cbabacaccbabacacb）（例20.已知0)1()1()1(3333zyxzyx，且，求证x、y、z中至少有一个等于1。例21.证明：)()()()(33333333333yxxzzyzyxxyzxyzxyzxyzzyx第一讲：整式的恒等变形page8of9例22.设rnxmxx23是x的一次式的完全立方式，求证3mr=2n例23.已知0112222nqmpqpnm，，。求证：0112222pqmnqnpm，，例24.设xyzzyx，证明：xyzyxzzxyzyx4)1)(1()1)(1()1)(1(222222第一讲：整式的恒等变形page9of9例25.已知a、b、c两两不等，且满足关系式：macacmbccbmabba222222。（1）求m的值；（2）求证：)(222222mabbacba。例26.证明：如果当自变量x取任意整数值时，二次三项式cbxax2总取整数值，那么2a,a+b,和c都是整数，并且反过来也成立。例27.已知00022pnxmxcbxaxa，，,求证：))(()(2bmancnbpapcm。