初中数学几何模型

经典模型系列手册温故而知新~1~熟能生巧模型一：手拉手模型—全等等边三角形条件：OAB,OCD均为等边三角形结论：①OACOBD≌;②60AEB③OE平分AED（易忘）EODCBAABCDOEOABEABCDOE滴水穿石~2~锲而不舍等腰RT条件：OAB,OCD均为等腰直角三角形结论：①OACOBD≌;②90AEB③OE平分AED（易忘）OABECDDCEBAOABEO导角核心图形经典模型系列手册温故而知新~3~熟能生巧任意等腰三角形条件：OAB,OCD均为等腰三角形且AOBCOD结论：①OACOBD≌;②AEBAOB③OE平分AED（易忘）模型总结：核心图形如右图，核心条件如下：①OAOB，OCOD②AOBCODOABCDEOABCD滴水穿石~4~锲而不舍模型二：手拉手模型—相似条件：CDAB∥，将OCD旋转至右图位置结论：右图OCDOABOACOBD∽∽且延长AC交BD与点E必有BECBOA非常重要的结论，必须会熟练证明OABCDOABCD经典模型系列手册温故而知新~5~熟能生巧手拉手相似（特殊情况）当90AOB时，除OCDOABOACOBD∽∽之外还会隐藏tanBDODOBOCDACOCOA满足BDAC,若连结AD、BC,则必有2222ADBCABCD12ABCDSACBD（对角线互相垂直四边形）EOCABDOCABD滴水穿石~6~锲而不舍模型三：对角互补模型（全等型—90°）条件：①90AOBDCE②OC平分AOB结论：①CDCE；②2ODOEOC③212ODCEOCDOCESSSOC辅助线之一：作垂直，证明CDMCEN≌EDCBOANMAOBCDE经典模型系列手册温故而知新~7~熟能生巧条件：①90AOBDCE②OC平分AOB结论：①CDCE；②2ODOEOC③212ODCEOCDOCESSSOC辅助线之二：过点C作CFOC证明ODCFEC≌FAOBCDE滴水穿石~8~锲而不舍当∠DCE一边交AO延长线上于点D时，如图以上三个结论：（辅助线之一）①CDCE不变②2OEODOC（重点）③212OCEOCDSSOC（难点）请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握MNEDCBOA经典模型系列手册温故而知新~9~熟能生巧当∠DCE一边交AO延长线上于点D时，如图以上三个结论：（辅助线之二）①CDCE不变②2OEODOC（重点）③212OCEOCDSSOC（难点）请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握FAOBCDE滴水穿石~10~锲而不舍细节变化：若将条件“OC平分AOB”与结论“CDCE”互换条件：①90AOBDCE②CDCE结论：①OC平分AOB；②2ODOEOC③212ODCEOCDOCESSSOCEDCBOA经典模型系列手册温故而知新~11~熟能生巧（全等型—120°）条件：①2120AOBDCE②OC平分AOB结论：①CDCE；②ODOEOC③234ODCEOCDOCESSSOC请模仿（全等形—90°）辅助线之一完成证明ODACEB滴水穿石~12~锲而不舍辅助线之二：在OB上取一点F，使OFOC证明OCF为等边三角形（重要）结论：①CDCE；②ODOEOC③234ODCEOCDOCESSSOC必须熟练，自己独立完成证明FBECADO经典模型系列手册温故而知新~13~熟能生巧当∠DCE一边交AO延长线上于点D时，如图以上三个结论：（辅助线之二）①____________________②_______________________（重点）③________________________（难点）请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握ODACEBF滴水穿石~14~锲而不舍（全等型—任意角）条件：①2AOB,1802DCE②CDCE结论：①OC平分AOB；②2cosODOEOC③2sincosODCEOCDOCESSSOC难度较大，记得经常复习OBECDA经典模型系列手册温故而知新~15~熟能生巧当∠DCE一边交AO延长线上于点D时，如图以上三个结论：（辅助线之二）①____________________②_______________________（重点）③________________________（难点）请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握请思考初始条件的变化，对模型的影响OBECDA滴水穿石~16~锲而不舍（对角互补模型--相似型）如图，若将条件“OC平分AOB”去掉条件：①90AOBDCE不变，COE，结论中三个条件又该如何变化？结论：①tanCECD；②(tan)cosODOEOC③221tantan2OCDOCESSOCOADCEBMNBECDAO经典模型系列手册温故而知新~17~熟能生巧证明：过点C作CFOC，交OB于点F∵90DCEOCF∴DCOECF∵180AOBDCE∴180CDOCEO∴CDOCEF∴CDOCEF∽∴tanEFCECFDOCDCO（关键步）FOADCEB滴水穿石~18~锲而不舍∴结论①得证∴tanEFOD∵()cosOEEFOC∴结论②得证∴22()tanCEFCDOSCFSCO∴2tanCEFCDOSS∵OCECEFOCFSSS且21tan2OCFSOC∴结论③得证难度非常大，请仔细认真复习经典模型系列手册温故而知新~19~熟能生巧对角互补模型总结：①常见初始条件：四边形对角互补两点注意：四点共圆和直角三角形斜边中线②初始条件：角平分线与两边相等的区别③常见两种辅助线的作法④注意下图中“OC平分AOB”CDECEDCOACOB相等是如何推导EDCBOA滴水穿石~20~锲而不舍角含半角模型(90°)条件：①正方形ABCD；②45EAF结论：①EFDFBE②CEF周长为正方形ABCD周长一半也可以这样：条件：①正方形ABCD；②EFDFBE结论：①45EAF口诀：角含半角要旋转FEDCBAGABCDEF经典模型系列手册温故而知新~21~熟能生巧角含半角模型(90°)条件：①正方形ABCD；②45EAF结论：①EFDFBE辅助线：ABCDEFABCDEFFEDCBA滴水穿石~22~锲而不舍角含半角模型(90°)条件：①等腰直角ABC；②45DAE结论：222BDCEDE若DAE旋转到ABC外部时结论：222BDCEDE仍然成立EDCBAFABCDEFEDCBAABCDE经典模型系列手册温故而知新~23~熟能生巧角含半角模型(90°)变形条件：①45EAF;结论：AHE为等腰直角三角形（重点/难点）证明：连接AC（方法不唯一）∵45DACEAF,∴DAHCAE∵45ADHACE,∴ADHACE∽∴DAACAHAE∴AHEADC∽HGABCDEFHGABCDEF滴水穿石~24~锲而不舍倍长中线类模型条件：①矩形ABCD；②BDBE③DFEF结论：AFCF模型提取：①有平行线ADBE∥②平行线间线段有中点DFEF可以构造8字全等ADFHEF≌HHBEFDAFEDCBA经典模型系列手册温故而知新~25~熟能生巧倍长中线类模型条件：①平行四边形；ABCD②2BCAB；③AMDM；④CEAD结论：3EMDMEA辅助线:有平行ABCD∥，有中点AMDM延长EM，构造AMEDMF≌，连接CM构造等腰EMC,MCF通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化FABCDEMMEDCBA滴水穿石~26~锲而不舍相似三角形360度旋转模型（倍长中线法）条件：①ADE、ABC均为等腰直角②EFCF结论：①DFBF；②DFBF辅助线：延长DF到点G，使FGDF，连接CG、BG、BD证明BDG为等腰直角突破点：ABDCBG≌难点：证明BADBCGGABCDEFFEDCBA经典模型系列手册温故而知新~27~熟能生巧相似三角形360度旋转模型（补全法）条件：①ADE、ABC均为等腰直角②EFCF结论：①DFBF；②DFBF辅助线：构造等腰直角AEG、AHC辅助线思路：将DF与BF转化到CG与EHHGFEDCBAABCDEF滴水穿石~28~锲而不舍任意相似直角三角形360度旋转模型（补全法）条件：①OABODC∽②90OABODC；③BECE结论：①AEDE；②2AEDABO辅助线：延长BA到点G，使AGAB，延长CD到点H使DHCD，补全OGB、OCH构造旋转模型，转化AE与DE到CG与BH，难点在转化AEDOHGABECDEDCBAO经典模型系列手册温故而知新~29~熟能生巧任意相似直角三角形360度旋转模型（倍长法）条件：①OABODC∽②90OABODC；③BECE结论：①AEDE；②2AEDABO辅助线：延长DE至M，使MEDE，将结论的两个条件转化为证明AMDABO∽，此为难点，将AMDABO∽继续转化为证明ABMAOD∽,使用两边成比且夹角等此处难点在证明ABMAODMABECDOABECDO滴水穿石~30~锲而不舍最短路程模型之一（将军饮马类）\总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短”解决特点：①动点在直线上；②起点，终点固定PA+PQ+BQPA+PBl2l1B'A'QPBAPlB'BAAP+PQ+QBAP+PQ+QBl1l2A'QPBAlA'QPB'BA经典模型系列手册温故而知新~31~熟能生巧最短路程模型之二（点到直线类）条件：如右图①OC平分AOB②M为OB上一定点③P为OC上动点④Q为OB上动点求：MPPQ最小时，P、Q的位置辅助线：将作Q关于OC对称点'Q，转化'PQPQ，过点M作MHOA'MPPAMPPQMH（垂线段最短）HQ'QPMCBOAPA垂线段最短滴水穿石~32~锲而不舍最短路程模型之二（点到直线类）条件：如图，点A、B为定点，P为动点问题：点P在何处，12BPAP最短结论：以A为顶点作30PAC，过点P作PQAC，转化12PQAP,过点B作AC的垂线与AP的交点为所求（垂线段最短）所求点定点动点定点CQABPllPBA经典模型系列手册温故而知新~33~熟能生巧最短路程模型之二（点到直线类）条件：如图，点A、B为定点，P为动点问题：点P在何处，22BPAP最短结论：以A为顶点作45PAC，过点P作PQAC，转化12PQAP,过点B作AC的垂线与AP的交点为所求所求点定点动点定点CQABPllPBA滴水穿石~34~锲而不舍最短路程模型之二（点到直线类）条件：(0,4)A、(2,0)B，(0,)Pn问题：n为何值时，55PBPA值最小结论：①x上取点(2,0)C，使5sin5OAC②过点B作BDAC，交y轴于点E为所求③1tantan2EBOOAC，即(0,1)EEDCABxyOPPOyxBA经典模型系列手册温故而知新~35~熟能生巧最短路程模型之三（旋转类最值模型）条件：①线段4OA,2OB()OAOB②OB绕点O在平面内360旋转问题：AB的最大值，最小值分别为多少？结论：以点O为圆心，OB为半径作圆，如图所示，将问题转化为“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”最大值：OAOB；最小值：OAOB最大值位置最小值位置BOA滴水穿石~36~锲而不舍最短路程模型之三（旋转类最值模型）条件：①线段4OA,2OB②以点O为圆心