全等三角形辅助线系列之一---角平分线类辅助线作法大全

1/17全等三角形辅助线系列之一与角平分线有关的辅助线作法大全一、角平分线类辅助线作法角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等．对于有角平分线的辅助线的作法，一般有以下四种．1、角分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题；2、截取构全等利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形；3、延长垂线段题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；4、做平行线：以角分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形．或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形．通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形．至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件．图四图三图二图一QPONMPONMBAABMNOPPONMBA2/17典型例题精讲【例1】如图所示，BN平分∠ABC，P为BN上的一点，并且PD⊥BC于D，2ABBCBD＋．求证：180BAPBCP＋．【解析】过点P作PE⊥AB于点E．∵PE⊥AB，PD⊥BC，BN平分∠ABC，∴PEPD．在Rt△PBE和Rt△PBC中，BPBPPEPD，∴Rt△PBE≌Rt△PBC（HL），∴BEBD．∵2ABBCBD，BCCDBD，ABBEAE，∴AECD．∵PE⊥AB，PD⊥BC，∴90PEBPDB．在△PAE和Rt△PCD中，∵PEPDPEBPDCAEDC，∴△PAE≌Rt△PCD，∴PCBEAP．∵180BAPEAP，∴180BAPBCP．【答案】见解析．ABCDPNNPEDCBA3/17【例2】如图，已知：90A，AD∥BC，P是AB的中点，PD平分∠ADC，求证：CP平分∠DCB．【解析】因为已知PD平分∠ADC，所以我们过P点作PE⊥CD，垂足为E，则PAPE，由P是AB的中点，得PBPE，即CP平分∠DCB．【答案】作PE⊥CD，垂足为E，∴90PECA，∵PD平分∠ADC，∴PAPE，又∵90BPEC，∴PBPE，∴点P在∠DCB的平分线上，∴CP平分∠DCB．【例3】已知：90AOB，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．（1）PC和PD有怎样的数量关系是__________．（2）请你证明（1）得出的结论．PDCBAABCDPE4/17【解析】（1）PCPD．（2）过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，∴90CFPDEP，∵OM是∠AOB的平分线，∴PEPF，∵190FPD，且90AOB，∴90FPE，∴290FPD，∴12，在△CFP和△DEP中12CPFDEPPFPE，∴△CFP≌△DEP，∴PCPD．【答案】见解析．【例4】如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，60B，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请你判断并写出FE与FD之间的数量关系（不需证明）；（2）如图③，在△ABC中，60B，请问，在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【解析】如图①所示；（1）FEFD．5/17（2）如图，过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴FGFHFK，在四边形BGFH中，36060902120GFH，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，60B，∴118060602FACFCA．在△AFC中，18018060120AFCFACFCA，∴120EFDAFC，∴EFGDFH，在△EFG和△DFH中，EFGDFHEGFDHFFGFH，∴△EFG≌△DFH，∴FEFD【答案】见解析．【例5】已知120MAN，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．（1）如图1，若90ABCADC，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；（2）如图2，若180ABCADC，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【解析】（1）得到30ACDACB后再可以证得12ADABAC，从而，证得结论；（2）过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F，证得△CED≌△CFB后即可得到6/17ADABAEEDAFFBAEAF，从而证得结论．【答案】（1）关系是：ADABAC．证明：∵AC平分∠MAN，120MAN∴60CADCAB又90ADCABC，∴30ACDACB则12ADABAC（直角三角形一锐角为30°，则它所对直角边为斜边一半）∴ADABAC；（2）仍成立．证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F∵AC平分∠MAN∴CECF（角平分线上点到角两边距离相等）∵180ABCADC，180ADCCDE∴CDEABC又90CEDCFB，∴△CED≌△CFB（AAS）∵EDFB，∴ADABAEEDAFFBAEAF由（1）知AEAFAC，∴ADABAC．7/17【例6】如图，在△ABC中，2CB，AD平分∠BAC，求证：ABACCD．【解析】在AB上截取点E，使得AEAC．∵AD平分∠BAC，∴EADCAD，∴△ADE≌△ADC（SAS）．∴AEDC，EDCD．∵2CB，∴=2AEDB．∵AEDBEDB，∴BEDB，∴BEDE．∴CDBEABAEABAC．【答案】见解析．【例7】如图，△ABC中，ABAC，108A，BD平分ABC交AC于D点．求证：BCACCD．【解析】在BC上截取E点使BEBA，连结DE．∵BD平分ABC，∴ABDEBD．在ABD与EBD中∵ABEB，ABDEBD，BDBD∴ABDEBD≌，∴ADEB∵ABAE，∴BADBED，∴72DEC．又∵361854ADB，∴72CDEABCDEDCBAABCD8/17∴CDEDEC，∴CDCE∵BCBEEC，∴BCACCD【答案】见解析．【例8】已知ABC中，60A，BD、CE分别平分ABC和ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．【解析】在BC上截取一点F使得BFBE，易证BOEBOF≌，在根据120BOC推出60BOECOF，再证明OCFOCD≌即可．【答案】BCBECD．【例9】如图：已知AD为△ABC的中线，且12，34，求证：BECFEF．【解析】在DA上截取DNDB，连接NE，NF，则DNDC，在△DBE和△DNE中：EDCBAOEDCBAFOEDCBAABCDEF12349/17∵12DNDBEDED∴△DBE≌△DNE（SAS），∴BENE同理可得：CFNF在△EFN中，ENFNEF（三角形两边之和大于第三边）∴BECFEF．【答案】见解析．【例10】已知：在四边形ABCD中，BCBA，180AC，且60C，BD平分∠ABC，求证：BCABDC．【解析】在BC上截取BEBA，∵BD平分∠ABC，∴ABDEBD，在△BAD和△BED中，BABEABDEBDBDBD，∴△BAD≌△BED，∴ADDE，ABED．∵180BEDDEC，180AC．∴CDEC，∴DEDC．∴DCAD．4321NFEDCBA10/17∵60C，∴△CDE是等边三角形，∴DECDCE，∴BCBECEABCD．【答案】见解析．【例11】观察、猜想、探究：在△ABC中，2ACBB．（1）如图①，当90C，AD为∠BAC的角平分线时，求证：ABACCD；（2）如图②，当90C，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【解析】（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，理由角平分线性质得到ED=CD，利用HL得到直角三角形AED与直角三角形ACD全等，由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AEAC，AEDACB，由2ACBB，利用等量代换及外角性质得到一对角相等，利用等角对等边得到BEDE，由ABAEEB，等量代换即可得证；（2）ABCDAC，理由为：在AB上截取AGAC，如图2所示，由角平分线定义得到一对角相等，再由ADAD，利用SAS得到三角形AGD与三角形ACD全等，接下来同（1）即可得证；（3）ABCDAC，理由为：在AF上截取AGAC，如图3所示，同（2）即可得证．【答案】（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，如图1所示，∵AD为∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DEDC，11/17在Rt△ACD和Rt△AED中，ADAD，DEDC，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴ACAE，ACBAED，∵2ACBB，∴2AEDB，又∵AEDBEDB，∴BEDB，∴BEDEDC，则ABBEAECDAC；（2）ABCDAC，理由为：在AB上截取AGAC，如图2所示，∵AD为∠BAC的平分线，∴GADCAD，∵在△ADG和△ADC中，AGACGADCADADAD∴△ADG≌△ADC（SAS），∴CDCG，AGDACB，∵2ACBB，∴2AGDB，又∵AGDBGDB，∴BGDB，∴BEDGDC，则ABBGAGCDAC；（3）ABCDAC，理由为：在AF上截取AGAC，如图3所示，∵AD为∠FAC的平分线，∴GADCAD，∵在△ADG和△ADC中，AGACGADCADADAD，∴△ADG≌△ADC（SAS），∴CDGD，AGDACD，即ACBFGD，∵2ACBB，∴2FGDB，又∵FGDBGDB，∴BGDB，∴BGDGDC，则ABBGAGCDAC．12/17【例12】如图所示，在△ABC中，3ABCC，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F．求证：12BEACAB．【解析】延长BE交AC于点F．则AD为∠BAC的对称轴，∵BE⊥AD于F，∴点B和点F关于AD对称，∴12BEEFBF，ABAF，ABFAFB．∵3ABFFBCABCC＋，ABFAFBFBCC＋，∴3FBCCFBCC＋＋，∴FBCC，∴FBFC，∴111222BEFCACAFACAB，∴12BEACAB．【答案】见解析．EDCBAFEDCBA13/17【例13】如图，已知：△ABC中AD垂直于