13Pipes模型和Forbes模型

Pipes模型113Pipes模型和Forbes模型从这章开始我们介绍跟驰模型。我们以两个简单的模型开始，即Pipes模型和Forbes模型，它们都是从驾驶员的日常驾驶经验中总结出来的。13.1Pipes模型Pipes模型[1]是基于加利福尼亚州交通法规中的一条安全驾驶规定：“跟车的一个安全法则是在速度每增加10mph（十迈或十英里每小时）时就使车间间距增加至少一个车长。”如图13-1所示，上述的规则可以用下述数学模型来表达：图13-1跟驰情形𝑥𝑖𝑥𝑖−1𝑙𝑖−1𝑠𝑖𝑙𝑖𝑥𝑖,𝑥𝑖𝑥𝑖−1,𝑥𝑖−1𝑔𝑖𝑥(𝑔𝑖𝑡)(ℎ𝑖)Pipes模型2iiiiiiixiltxltsltxtxtg10447.0)())((]))()([()(min1min11min这里)(txi是𝑖号车的速度，单位为m/s，单位转换为1mph≈0.447m/s。车头间距)(tsi，车间间距)(tgxi，前车位置)(1txi，后车位置)(txi，以及车长l均以m为单位。整合后，Pipes模型如下：1min)(47.4)(iiiiltxlts假设一辆车的长度为6m，上述模型简化为：6)(34.1)(mintxtsii或者以车头时距)()()(txtsthiii来表示，上述模型可以改写为：)(634.1)(mintxthii13.1.1Pipes模型的应用Pipes模型有很多应用，最常见的就是自动驾驶和计算机仿真。自动驾驶也许最简单的自动驾驶形式就是巡航控制（cruisecontrol或CC）。作为一个车载系统，巡航控制通过控制油门来自动控制车辆的速度，使车辆能够以驾驶员设定的速度匀速行驶。在长途行驶时，巡航控制使得单调无趣驾驶变的轻松简单，因此它是一项很受欢迎的功能。但是，随着车辆增多，路面交通越来越拥挤，驾驶员不得不频繁的开-关巡航控制，在这种情况下，常规的巡航控制就没什么用了。为了适应前车速度的动态变化，理想的巡航控制应该能够根据前车的速度来实时调整自己的速度以保持安全车距，而不是简单Pipes模型3地以匀速行驶。因此，适应性或自主性的巡航控制（ACC）系统应运而生。装备了车距传感器之后，自主巡航控制就能够在接近前车时减速，而在交通状况允许时加速至预定的速度。要实现这种控制，该系统内就需要有一个算法来根据车距计算速度。像Pipes这样简单的根驰模型就很适合作这种算法。具体地说，我们可以将Pipes变换成下式：)(47.4)(tgltxxiii如果假定车长为6米，上述关系就变为：)(745.0)(tgtxxii因此，自主巡航控制的工作原理如下。在任何时刻t，根据距离传感器探测到的车间间距)(tgxi，将跟驰车辆的目标速度设为小于或等于)(745.0tgxi。显然，当车间距)(tgxi变得很大时，跟驰车辆的速度将无限增大。因此，它必须有一个上限，我们称之为理想速度iv。这样，跟驰车辆的实际速度取理想速度和根据模型得出的速度之中较小的那个值：)}(10447.0,min{)(tglvtxxiiii计算机仿真Pipes模型也能够用于模拟行驶在单车道公路上的一列车。在模拟开始之前，下述变量必须初始化，即赋予他们初始值：il：i号车的长度，𝑖=1,2,3,…,𝐼.i：i号驾驶员的反应时间iv：i号驾驶员的理想速度iA：i号车的最大加速度iB：i号车的最大减速度t：模拟的时间步长Pipes模型4在模拟的第j步，每一辆车的位置x和速度v更新如下：在上述的程序片断中，i号车和前车之间的实际车头间距),(ijs取为他们在上一步的位置差。最短安全距离),(minijs由加州交通法规推导出的Pipes模型给出。然后我们将),(ijs和),(minijs进行对比。如果前者小于后者，车速减少iBt，但是保证车速大于0；否则，车速增加iAt，但是不超过理想速度iv。然后更新车辆的位置。完成之后，时间往前推进一步，重复上述过程。请注意，在用于自主巡航控制时和用于计算机仿真时跟驰模型的目标是不一样的。当用于自主巡航控制时，其目标是在确保行车安全的情况下快速行驶（例如尽早到达目的地）。因此，自动驾驶追求的是一个“理想的或最优的”驾驶员模型，它可以最佳地控制车辆。与之对照的计算机仿真，其目标在于尽可能真实地反映现实世界，而现实中的驾驶员都是不完美的。因此，计算机仿真追求的是一个“具有代表性的”驾驶员模型，它能够很好的模仿现实生活中不完美的驾驶员的驾驶行为。13.1.2Pipes模型的属性FORi=1:Is(j,i)=x(j-1,i-1)-x(j-1,i);s_min(j,i)=l(i)*(v(j-1,i)/(0.447*10)+1);IFs(j,i)s_min(j,i)v(j,i)=MAX([0,v(j-1,i)-dB_i]*dt);ELSEv(j,i)=MIN([v_i,v(j-1,i)+dA_i*dt]);ENDx(j,i)=x(j-1,i)+v(j,i)*dt;ENDPipes模型5在数学建模中，人们常常想要了解一个系统的微观行为和宏观行为之间的联系，或者说解释宏观行为的微观本质。在交通流理论中，微观跟驰模型总是和宏观速-密关系联系在一起，进而与基本图紧密相联。一般来说，微观和宏观模型之间的联系有两种方式来建立。一种方式是仿真法，即通过使用微观模型进行仿真，这种仿真常常包含一些随机变量如反应时间、理想速度、加速度等。这样，每次仿真的结果都不尽相同。因此，微观模型所隐含的宏观行为可以通过对这些仿真结果进行统计分析得到。另种方式是整合法，即在平衡态或稳态的假设下对微观模型（一般都包含偏微分方程）进行积分或求整体平均。如果一个系统处于平衡态，系统的特性都不随时间变化。具体来说，一个处于平衡态的交通系统由匀质的车辆组成，即这些车辆在时-空中的行为是相同的。因此，在平衡态下，车辆失去了个性，也就不再需要标号了，即可以取消表征车辆特征的变量的下标，例如个体的反应时间就整合为平均反应时间i，个体有效车长整合为平均有效车长lli，车辆以匀速行驶，因此个体车速整合为平均车速即流速vxxji，加速度为零0x，驾驶员的理想速度收敛为自由流速fivv，个体车头间距)(tsi整合为平均车头间距s，它同时又是车流密度的倒数k1。平均有效车长l也是堵塞密度的倒数jk1。经过这些整合，Pipes模型就蜕变为如下速-密关系：)1(47.4147.4kkvvkkjj或者其中密度k的单位是mveh/，流速v的单位是sm/。利用恒等式vkq，我们得到了如下流-密、速-流关系：)(47.4kkqj和qkqvj22.0上述三个公式构成了Pipes模型所隐含的基本图的数学表达。Forbes模型613.2Forbes模型不像Pipes模型那样关注于确保车辆间的安全距离，Forbes[2][3]模型则规定：“为了安全，你和前车之间的车间时距必须大于或等于你的反应时间”这个安全规则可以表示如下：iiiitixlthtg)()(假设反应时间是1.5秒，车长为6米，该模型则变为：iixth65.1)(或者65.1)(iixts除了速度的系数外，该模型和Pipes模型很相似。这个系数可以解读为反应时间i。因此，Pipes模型和Forbes模型在本质上是等同的，可以一般化地表示为：iiiilxts)(在这里i和il是模型的参数。前面对于Pipes模型应用和属性的讨论同样适用于Forbes模型。另外，Pipes模型和Forbes模型所隐含的基本图可以表示为：模型基准分析7qqlvklqlkv111在这里，是平均反应时间，l是平均车长。13.3模型基准分析因为Pipes模型和Forbes模型本质上是等同的，以下讨论就以Pipes模型为背景。记住，这些讨论对于Forbes模型也同样适用。微观模型基准分析按照12.3.1节所描绘的情景展开，而宏观模型基准分析则按照12.3.2节所描绘的情景进行。13.3.1微观基准分析为了分析方便，我们将Pipes模型改写为如下：iiiltsttx)()(在这里，t是模拟时的时间步长，是一个常数，来自于单位转换（如果速度的单位是sm/且车长为6米，=1.34）。首先，该模型在车辆加速上有问题。回顾12.3.1节中描绘的情景，假如前车初始时位于5000)0(1ixm处，i号车位于102)0(ixm处，且两车均处于静止状态。当仿真开始时，i号车按照Pipes模型的规则行驶。由于车距为5102)0(ism，则下一步的速度为3800m/s（假设时间步长是1s），这就要求车辆加速度为3800m/𝑠2。进一步说，如果前车不存在的话，i号车的加速度将会无穷大。因此，我们就需要一个外部条件来限制Pipes模型的最大加速度：模型基准分析8iiiiAttxttxtx)()()(在这里，iA是i号车的最大加速度，例如，iA=4m/𝑠2。增加了这个附加条件，Pipes模型的数学典雅性就降低了，即它的数学表达不再是一个连续的单个方程，而是两个联立的方程组。从宏观建模中我们看到，模型的可导性很重要，例如流量对密度的导数𝑑𝑞/𝑑𝑘是运动波的速度，我们依赖它来进行宏观仿真。如果模型是两个或多个联立的方程组，则会引入不连续的突变点，导致模型导数不存在或分段可导，从而增加问题的复杂度，甚至没有解析解。尽管增加了一个外部条件，Pipes模型在最大速度上还存在问题。的确，现在最大加速度不会超过iA了，但是车辆还是可以被无限加速。例如，在is=590m时，速度为ix=196m/s。因此，我们还要再加一个外部条件来限制最大速度：iivx在这里，iv是i号驾驶员的理想速度。第三个问题是不切实际的减速度。例如，在t=424s时，i号车位于ix=8734m，速度是ix=30m/s，而1i号车位于1ix=8762m。根据Pipes模型，在下一步i号车的速度将为ix16.42m/s。这样，减速度为ix=-13.58m/𝑠2。因此，我们必须增加第三个外部条件来限制最大减速度iB（例如-6m/𝑠2）：iiiiBttxttxtx)()()(然而，这个外部条件又引入了一个新问题。比如说，i号车在下一步的速度为ix=30–6=24m/s，位置是ix=8758m。这意味着两车的车头间距将为is=4m，小于车长1il=6m，也就是说两车将相撞。遗憾的是，目前还没有什么简便的办法来解决这个问题。在加入这些限制条件之后，Pipes模型的基准分析结果如图13-2所示并总结如下：启动：该模型能够使车辆从静止状态启动，如图中t0s部分所示。加速：该模型能够使车辆加速，如图中0t100s部分所示。然而，其加速曲线（这儿指加速度作为速度的函数）不合理，因为模型说车辆在高速时仍能获得最大加速度，这是不切合实际的。一般来说，最大加速度只出现在车辆启动时。随着车模型基准分析9速的增加，加速度逐渐减小，并且在车辆达到理想速度或巡航速度时消失。自由流：必须添加一个外部条件来限制自由流条件下的最大速度，如图中0t100s部分所示。被抢道：当前方出现旁车切入，跟车距离突然变短时，该模型依然能够保持控制并作出合理响应，如图中t=100s左右所示。跟驰：该模型能够使自车适应前车的速度，并且以一个合理的距离跟随前车行驶，如图中100t200s部分所示。停车起步：该模型能够使自车停在前车后，并在前车开始行驶后能够重新起步，如图中200t300s部分所示。随行：该模型能够使车辆正常地加速，而不会被前车吸引得超速，如图中300t400s部分所示。靠近：当靠近一辆静止的前车时，该模型无法使自车合理地减速。如果添加最大减速度的限制条件，自车有可能会碰入前车，如图中400t420s部分所示。停车：这个阶段（t420s）在这里不适用