几何画板(GSP)分形入门50例

几何画板(GSP)分形入门50例第1页共97页几何画板分形入门50例重庆市万州第二高级中学向忠(老巷)教程介绍了一些常见经典分形的几何画板实现方法，内容包括：林氏系统L­system、迭代函数系统IFS、圆的极限集、Mandelbrot集、Julia集、Newton分形、实数分形，以及这些分形的一些特效变换方法软件支持：几何画板5分形工具：画板分形常用工具包复分形生成平台IFS分形生成平台1~3(全文范例的gsp源文件、插图及分形工具可点击封面分形图下载)写在前面分形几何学是美籍数学家曼德尔布罗特(BenoitB·Mandelbrot)在20世纪70年代中期创立的一门新的数学前缘学科，它以研究自然界与社会活动中广泛存在的无序现象为对象，其理论和方法广泛应用于自然科学和社会科学的各个领域，为描述自然界和社会系统中大量存在的不规则图形和现象提供了相应的思想方法，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路。目前我国正在进行的基础教育课程改革，为这门充满活力的新兴学科在普通高中数学课程中渗透创造了一个良好的契机。根据《基础教育课程改革纲要》“加强课程内容与现代科技的联系”的要求和高中生的知识基础及思维水平，本教程避开了分形几何学的那些深邃的理论，精心遴选了分形几何的50个经典实例，从计算机实际操作入手，通过几何画板的演绎，深入浅出地介绍分形图形的一些常用实现方法，引领学生经历一次全新的几何旅程、领略一种全新的数学思维方式，培养高中学生对科技发展前沿理论的敏感和关注意识。几何画板(GSP)分形入门50例第2页共97页目录例1．简单向前生成元格式的LS分形例2．左右生成元混合格式的LS分形例3．分枝结构的进退格式的LS分形例4．Koch曲线及LS雪花例5．二维IFS分形确定性算法(一)例6．二维IFS分形确定性算法(二)例7．二维IFS分形确定性算法(三)例8．带概率的IFSP分形(一)例9．带概率的IFSP分形(二)例10．IFS码的提取和植物的拟态例11．反函数迭代(逆迭代)法IFS分形(一)例12．反函数迭代(逆迭代)法IFS分形(二)例13．LS分形的球面化处理例14．Weierstrass函数的球面化处理例15．IFS分形的反演处理例16．Apollony分形例17．圆的极限集(一)例18．圆的极限集(二)例19．圆的极限集(三)例20．圆的极限集(四)例21．复分形逃逸时间算法例22．Julia集和Mandelbrot集的RGB着色与内外部修饰例23．Julia集和Mandelbrot集的特效处理例24．复分形的等et线作法例25．复分形的拟3D-et作法例26．免工具复分形的逃逸时间作法与分形局部放大例27．复分形的球面化处理几何画板(GSP)分形入门50例第3页共97页例28．通过变换迭代格式绘制点生成特效分形例29．复分形的边界扫描技术——距离估计(DEM)方法例30．复分形拟3D-dist作法与圆等高线3D-dist作法例31．分形万花筒例32．分形局部连续放大同步扫描例33．分形浮雕效果例34．分形外部的三角形不等式着色方法例35．Newton分形例36．Newton分形的特效处理例37．实数分形之Mira分形例38．LS和IFS分形的内迭代扫描算法例39．圆的极限集的内迭代扫描算法例40．LS和IFS分形的外迭代扫描算法例41．J\M集的点陷阱扫描算法例42．实分形的点陷阱外迭代扫描算法例43．圆的极限集多点陷阱外迭代扫描算法(一)例44．圆的极限集多点陷阱外迭代扫描算法(二)例45．圆的极限集多点陷阱外迭代扫描算法(三)例46．分形的叠加与镶嵌例47．Escher_Julia盘例48．双曲对称极限圆(Poincar盘)例49．实分形的旋转迭代扫描算法例50．Hilbert填充曲线几何画板(GSP)分形入门50例第4页共97页例1.简单向前生成元格式的LS分形L­system源于模拟植物形态和生长，是一种重要的分形生成方法。它是由若干符号组成的语言指令系统，交由计算机自动执行。而用画板实现其中一些较简单的分形，我们可以将L­system分形的几个要素简化成两个：初始元、生成元，以此为基础，“人脑+电脑”生成分形图案。下面以LS五角繁星为例，介绍简单向前格式生成元的LS分形的制作方法。一、L代码直译法1．作初始元AB和生成元A­B：作初始元线段AB，以A为中心按比0.618缩放B得B'，以B为中心按比0.618缩放A得A'，以B'为中心按逆时针方向108°旋转B得B''，以B''为中心按逆时针方向108°旋转B'得B'''，顺次连接AA'B''B'B，以及B''B'''，得生成元如图：2．生成元上执行迭代：先删除生成元中各线段，显示出初始元AB，新建参数n=2，作初始元AB到AA'、A'B''、BB'、B'B、B'''B''的深度为n的最终迭代，隐藏初始元和带撇号的点后得初始元的迭代像如图：3．作五点形：作圆的五等分点D、E、F、G、H，得五点形DEFGH；4．作LS五角繁星：依次选中点A、B、参数n和初始元的迭代像，进入变换菜单，制作自定义工具，几何画板(GSP)分形入门50例第5页共97页将参数n设为“自动匹配对象”，再用此工具依次匹配五边ED、FE、GF、HG、DH，得LS五角繁星。二、五边形压缩法如上图，五角繁星也可由五个仿射压缩变换迭代而成：一个正五边形分别以压缩比1-0.618压向其五角。所以可如下制作：1．作点A、B，以A中心、72°为转角，将B顺次旋转四次得四点，顺次连接B及这四点，得正五边形BCDEF；2．以点A为中心，以0.618为比将点B、C、D、E、F缩放为点B'、C'、D'、E'、F'，如图：3．新建参数n，作AB→B'B、AB→C'C、AB→D'D、AB→E'E、AB→F'F，深度为ｎ的最终迭代，将五边形BCDEF的各顶点和边隐藏后，得五角繁星。几何画板(GSP)分形入门50例第6页共97页例2.左右生成元混合格式的LS分形前面通过对五角繁星的制作，介绍了简单向前生成元格式的LS分形的制作方法。那么什么叫“向前格式”呢？按作画板LS分形的经验，就是将生成元A­B按如图箭头的指向依次向前压缩（迭代）到生成元的各线段上，其中由B''到B'''后又后退到B''，再继续向前，若保留B''到B'''的迭代，得到的分形为Durer五边形(见例15)，而去掉B''到B'''的迭代即得五角繁星。L­分形中存在许多带左右格式的生成元的分形，如龙曲线、Hilbert曲线、线型Sierpinski三角等。下面借助连续单曲线Sierpinski三角的练习，介绍左右格式生成元的LS分形的迭代方法：一、作初始元AB和左生成元A­B：作线段AB，以A为中心按逆时针60°方向旋转B得B'（此点也可任取），分别以A、B为中心，0.5为比缩放B'得B''、B'''，隐藏B'，得初始元线段AB和左生成元顺次四点AB''B'''B如左图（不含线段）。注意，用画板作L分形，对称右生成元效果可通过逆向压缩左生成元得到，所以可省去不作。二、生成元上执行迭代：删除折线AB''B'''B，显示出初始元AB，新建参数n，以n为深度，将初始元线段AB依次压缩到B''A、B''B'''、BB'''，即作ＡB→B''A、ＡB→B''B'''、ＡB→BB'''的最终迭代；隐藏初始元和各点，增大迭代次数n，得连续单曲线LS­Sierpinski三角如右图。几何画板(GSP)分形入门50例第7页共97页例3.分枝结构的进退格式的LS分形L­system对植物结构的绘制，是LS分形中最令人感兴趣的部分。前两种压缩形式是从一个起点到一个终点止的，而要模拟植物形态，就要有一个起点多个终点。所以L­system作为一种计算机符号指令系统，必须有一个指令符号，在画完一个分枝后，使计算机退回到主干再进入另一个分枝继续画图。而画板采用“人脑+电脑”的方法，这个转向过程却是轻而易举的。下面以一干四杈分形树的制作来介绍这一格式LS分形的制作方法：一、确定型LS分形树1．作初始元AB、生成元A-B：作初始元竖直线段AB，在AB上作两点A1、A4，以A1为中心分别按角度36°旋转B得B1、按角度126°旋转A4得B4，以B为中心分别按角度-171°旋转A1为B2、按角度144°旋转A1为B3，连接A1B1、BB2、BB3、A4B4、得生成元A­B如左图。2．删除生成元中四枝杈线段，显示出初始元AB，新建参数n=5，作AB→A1B1、AB→BB2、AB→BB3、AB→A4B4的深度为n的完整迭代，调好两点A1A4的位置后隐藏各点得分形树如右图。以上方法所作的分形树是线性(自相似)分形树，其变换是相似变换，属于确定型LS分形，不能得到生动逼真的植物拟态图形。要模拟出栩栩如生的植物形态，就要引入随机L­system或用迭代函数系统(IFS)。二、随机型LS分形树几何画板(GSP)分形入门50例第8页共97页1．作初始元AB、生成元A-B。作初始元竖直线段AB和线段CD，在CD作点P，度量出点P在线段CD的值，按下图左侧公式计算度量值。标记m1，以A为中心缩放B得A1，以B为中心缩放A得A4。标记m2，以A1为中心旋转B得B1；标记m3，以B为中心旋转A4得B2；标记m4，B为中心旋转A1得B3；标记m5，以A4为中心旋转A,得B4，连接A1B1、BB2、BB3、A4B4、得生成元A­B如右图。2．删除生成元中四枝杈线段，显示出初始元AB，新建参数n=6，作ABP→A1B1P、ABP→BB2P、ABP→BB3P、ABP→A4B4P的深度为n的随机完整迭代，隐藏除P的各点，得随机LS分形树。选中分形树，按“Shift+!”键调整分形树姿态(适当调整P的位置)，可得下左图。若以初始元AB为轴，作一个细高的等腰梯形参与迭代，可得更为逼真的分形树，如下右图。几何画板(GSP)分形入门50例第9页共97页例4.Koch曲线及LS雪花本例不仅介绍Koch曲线及Koch雪花的制作方法，还将介绍LS雪花的其他画板实现方法。一、Koch曲线的制作1．作初始元AB和生成元A­B：作线段AB，以A为中心，将点B缩放1/3、2/3得点B'、B''；再以B'为中心，将点B''逆时针旋转60°得点B'''，连折线AB'B'''B''B，得生成元A­B(左图)；2．删除生成元A­B中四条小线段，显示出初始元线段AB，新建参数n=1，作AB→AB'、AB→B'B'''、AB→B'''B''、AB→B''B的深度为n的最终迭代，隐藏生成元及点B'、B'''、B''，增大参数n，得Koch曲线(右图)。二、Koch雪花的制作1．选中Koch曲线，同时依次选中点A、B及n，创建新工具“工具#1”，调出工具脚本，将n设为自动匹配；2．作正三角形CDE(顺时针三顶点)，若用“工具#1”依次匹配CD、DE、EC，得Koch雪花如左图，若用“工具#1”依次匹配DC、CE、ED，得Koch反雪花如右图。二、正六边形压缩法作雪花图形可以看出Koch雪花过于单调，内部空空如也。用正六边形压缩成雪花图形却好几何画板(GSP)分形入门50例第10页共97页看得多。1．作生成元A-B：取两点A、B，以A为中心，B为顶点作正六边形BCDEFG，得生成元A-B；再以A为中心将此六边形的顶点按比2/3压缩，得六点B'、C'、D'、E'、F'、G'(如左图)；2．新建参数n=1，作AB→B'B、AB→C'C、AB→D'D、AB→E'E、AB→F'F、AB→G'G的深度为n最终迭代，隐藏生成元及各点，增大参数n，得LS雪花(如右图)二、连续单曲线雪花图形1．作初始元AB和生成元A-B：作线段AB，以A为中心B逆时针旋转60°得点B'，其余各点均为正三角形边的三等分点，得八点形ACDEFGHB，即生成元A-B如下左图；2．显示出初始元AB，新建参数n=1，作AB→CA、AB→CD、AB→DE、AB→EF、AB→GF、AB→HG、AB→HB的深度为n的最终迭代，隐藏初始元及各点，增大参数n，得连续单曲线雪花(如下右图)几何画板(GS