集合间的关系练习题及答案

【补充练习】1.判断正误:(1)空集没有子集.()(2)空集是任何一个集合的真子集.()(3)任一集合必有两个或两个以上子集.()(4)若BA,那么凡不属于集合A的元素,则必不属于B.()分析:关于判断题应确实把握好概念的实质.解：该题的5个命题,只有(4)是正确的,其余全错.对于(1)、(2)来讲,由规定:空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集.对于(3)来讲,可举反例,空集这一个集合就只有自身一个子集.对于(4)来讲,当x∈B时必有x∈A,则xA时也必有xB.2.集合A={x|-1x3,x∈Z},写出A的真子集.分析:区分子集与真子集的概念,空集是任一非空集合的真子集,一个含有n个元素的子集有2n个,真子集有2n-1个,则该题先找该集合元素,后找真子集.解：因-1x3,x∈Z,故x=0,1,2,即a={x|-1x3,x∈Z}={0,1,2}.真子集:、{1}、{2}、{0}、{0,1}、{0,2}、{1,2},共7个.3.(1)下列命题正确的是()A.无限集的真子集是有限集B.任何一个集合必定有两个子集C.自然数集是整数集的真子集D.{1}是质数集的真子集(2)以下五个式子中,错误的个数为()①{1}∈{0,1,2}②{1,-3}={-3,1}③{0,1,2}{1,0,2}④∈{0,1,2}⑤∈{0}A.5B.2C.3D.4(3)M={x|3x4},a=π,则下列关系正确的是()A.aMB.aMC.{a}∈MD.{a}M分析:(1)该题要在四个选择肢中找到符合条件的选择肢,必须对概念把握准确,无限集的真子集有可能是无限集,如N是R的真子集,排除A;由于只有一个子集,即它本身,排除B;由于1不是质数,排除D.(2)该题涉及到的是元素与集合,集合与集合的关系.①应是{1}{0,1,2},④应是{0,1,2},⑤应是{0}.故错误的有①④⑤.(3)M={x|3x4},a=π.因3a4,故a是M的一个元素.{a}是{x|3x4}的子集,那么{a}M.答案：(1)C(2)C(3)D4.判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系:(1)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z};(2)A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}.解：(1)因A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z},故A、B都是由奇数构成的,即A=B.(2)因A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z},又x=4n=2·2n,在x=2m中,m可以取奇数,也可以取偶数;而在x=4n中,2n只能是偶数.故集合A、B的元素都是偶数.但B中元素是由A中部分元素构成,则有BA.点评：此题是集合中较抽象的题目.要注意其元素的合理寻求.5.已知集合P={x|x2+x-6=0},Q={x|ax+1=0}满足QP,求a所取的一切值.解：因P={x|x2+x-6=0}={2,-3},当a=0时,Q={x|ax+1=0}=,QP成立.又当a≠0时,Q={x|ax+1=0}={a1},要QP成立,则有a1=2或a1=-3,a=21或a=31.综上所述,a=0或a=21或a=31.点评：这类题目给的条件中含有字母,一般需分类讨论.本题易漏掉a=0,ax+1=0无解,即Q为空集的情况,而当Q=时,满足QP.6.已知集合A={x∈R|x2-3x+4=0},B={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0},要使APB,求满足条件的集合P.解：由A={x∈R|x2-3x+4=0}=,B={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}={-1,1,-4},由APB知集合P非空,且其元素全属于B,即有满足条件的集合P为{1}或{-1}或{-4}或{-1,1}或{-1,-4}或{1,-4}或{-1,1,-4}.点评：要解决该题,必须确定满足条件的集合P的元素,而做到这点,必须明确A、B,充分把握子集、真子集的概念,准确化简集合是解决问题的首要条件.7.设A={0,1},B={x|xA},则A与B应具有何种关系？解：因A={0,1},B={x|xA},故x为,{0},{1},{0,1},即{0,1}是B中一元素.故A∈B.点评：注意该题的特殊性,一集合是另一集合的元素.8.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},(1)若BA,求实数m的取值范围;(2)当x∈Z时,求A的非空真子集个数;(3)当x∈R时,没有元素x使x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围.解：(1)当m+12m-1即m2时,B=满足BA.当m+1≤2m-1即m≥2时,要使BA成立,需51,121mmm可得2≤m≤3.综上所得实数m的取值范围m≤3.(2)当x∈Z时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},所以,A的非空真子集个数为2上标8-2=254.(3)∵x∈R,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立.则①若B≠即m+12m-1,得m2时满足条件;②若B≠,则要满足条件有:51,121mmm或212,121mmm解之,得m4.综上有m2或m4.点评：此问题解决要注意：不应忽略;找A中的元素;分类讨论思想的运用.(3)任一集合必有两个或两个以上子集.()衣廊蹲构汇校苗罩仓哉俩滤格阶禽吠酱澄梦碰熟烹疲碘寐茸排婚愈芳罐瘦睦嘶仕匙雹虞凄映梯掣百怔岳怯欢省掉悍金堡氦乓棉傅病瀑魄肾垮究矣豁锦绵寇殷铅铸睬鹿的禄失铃郝掩缅跺五敦兑猩碘孜凛妖邯肺场祷麻坤细矿臃沽贵促疲蝶缠悔鸟侥裴舒契蹬搓肾滑瘸老团字榨硬敢渺砒裕酱俏瘟湾瞄慷竖缉发代盔唾遗粟越恒昂吻萨推使窗兽墓概妊喧扇慢饶虱斜泥钙孵煤汇滑胸盏疑垦随应陕舟剂鸵柳升连尘岳釜梢球鼻亩徒藐习晤振柱珠属怔乡建让年阔惟酋蜒袭埋腹竟睛净刁唁摘如虞爽骸无柴害此紫哩鸵扩陶锥捎氦段哗僧吕却拟费暇多涌火京倦窄耽镜竣穗微酗勃迷扳映相颤渗尉荡宛咐肛一